Om iets te kunnen zeggen "of hij aan een week genoeg heeft om 16 keer kop achter elkaar te gooien" moeten we iets te weten komen over het aantal worpen dat nodig is om een rij van 16 koppen achter elkaar te krijgen.
Kijk daarvoor eens naar deze pagina:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Geometrische_verdeling
tot aan de formule
\(\text{E}(N) = \frac{1}{p}\)
op die pagina.
Bij de geometrische verdeling gaat het er om hoe vaak je moet gooien om 1 keer succes te hebben.
Bijvoorbeeld hoe lang je met een dobbelsteen moet gooien om 1 keer een 6 te gooien.
De kans op een zes is bij elke worp =
\(p = \frac{1}{6}\)
De kans op GEEN zes is bij elke worp =
\(q = 1 - p = \frac{5}{6}\)
De kans dat we in de eerste worp gelijk al een 6 gooien =
\(P(N=1) = \frac{1}{6}\)
De kans dat we bij de tweede worp pas een 6 gooien =
\(P(N=3) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}\)
De kans dat we bij de derde worp onze 6 gooien =
\(P(N=3) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}\)
enzovoorts
De kans
\(P(N=n)\) is hier de kans dat we in n keer klaar zijn, dus dat we na precies n keer onze 6 gegooid hebben.
We kunnen in 1 keer klaar zijn (als we geluk hebben), maar het kan ook zijn dat we een heel groot aantal keer moeten werpen.
Maar naar verwachting (gemiddeld) zullen we
\(E(N) = \frac{1}{p} = \frac{1}{1/6} = 6\) keer moeten werpen om onze eerste 6 te krijgen.
Voor jouw probleem is de kans op een kop
\(p = \frac{1}{2}\),
dus naar verwachting hebben we gemiddeld
\(E(N) = \frac{1}{p} = \frac{1}{1/2} = 2\) worpen nodig om 1 kop te krijgen.
Maar nu willen we niet 1 kop, maar willen we een rij van 16 koppen achter elkaar.
De vraag is immers: hoe veel worpen zullen we gemiddeld nodig hebben om dit doel te bereiken?
(we kunnen daarmee ook inschatten of dit binnen een week te doen is).
Noem
\(E(N)_k\) het verwachte aantal worpen dat we gemiddeld nodig hebben om een rij van k koppen te krijgen. Dan is
\(E(N)_1 = E(N) = \frac{1}{1/2} = 2\)
= het verwachte aantal worpen nodig om 1 keer kop te gooien: dit hebben we zojuist hierboven al gezien.
Stel nu dat we weten hoeveel worpen we nodig hebben om een rij van (k-1) koppen te gooien:
\(E(N)_{k-1}\)
Van hieruit kunnen we dan nog een keer werpen:
- in de helft van de gevallen zal de volgende worp een kop zijn, in dat geval hebben we onze rij van k koppen, en die hebben we dus bereikt in
\(E(N)_{k-1}+ 1\) worpen
- in de andere helft van de gevallen is de volgende worp een munt, in dat geval hebben we
\(E(N)_{k-1}+1\) worpen gedaan, maar moeten we weer van voor af aan beginnen om de k koppen te bereiken, en dat zal per definitie naar verwachting nog
\(E(N)_k\) worpen duren. In totaal hebben we in dit tweede geval dus
\(E(N)_{k-1}+1 + E(N)_k\) worpen nodig om de rij van k koppen te bereiken.
We kunnen nu dus bepalen hoeveel worpen we naar verwachting nodig hebben om k koppen te krijgen:
\(E(N)_k = \frac{1}{2}\cdot \left( E(N)_{k-1}+ 1 \right) + \frac{1}{2}\cdot \left( E(N)_{k-1}+ 1 + E(N)_k \right) \)
Kan je deze formule omzetten naar de vorm:
\(E(N)_k = ... \cdot E(N)_{k-1}+ ... \)
Als je dat hebt, dan kan je samen met
\(E(N)_1 = 2\) bepalen wat
\(E(N)_2\) is,
en vervolgens daarmee
\(E(N)_3\) en vervolgens ... enzovoorts totdat je bij
\(E(N)_{16}\) bent.
Waar kom je zo op uit?