Kansberekening bij Ticket to Ride

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Mathfreak
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 08 mei 2020, 23:12

Kansberekening bij Ticket to Ride

Bericht door Mathfreak » 09 mei 2020, 09:06

Hallo Allen,

Hier even een vraag mbt kansberekening bij het spel Ticket to Ride,. Gisteren deden we een potje, waarbij ik de grote stapel treinwagonkaarten had geschud en opgedeeld in twee aparte gedekte stapels, een voor mijn vrouw en zoon en een voor mijn dochter en mij, zodat we er allemaal gemakkelijker bij zouden kunnen. Maar mijn vrouw,die witte wagonnetjes nodig heeft, zegt op een gegeven moment: "Maar wat als er in onze stapel geen zitten, dan is de kans 0 dat ik er eentje pak. Als het een grote stapel was, dan heb ik altijd kans dat ik er een pak". Gevoelsmatig klopte dit niet voor mij. Ik probeerde het uit te leggen ahv een normaal pak kaarten. Schudden, opdelen in twee stapels en dan een voor een een kaart pakken en wie de klaver aas trekt, heeft gewonnen. De kans dat dit aas in jouw stapel zit, is een half. En de eerste kaart die getrokken wordt is 1/52. Mijn vrouw zegt: "als ik de stapel zonder klaver aas krijg, dan is de kans daarna telkens 0". Geen van ons beiden lukt het om de ander te overtuigen van zijn/haar beredenering. Wie weet ons te helpen met dit dilemma?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3583
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Kansberekening bij Ticket to Ride

Bericht door arie » 09 mei 2020, 13:50

Een rekenvoorbeeld:

Stel je hebt 10 kaarten waarvan 1 met een witte wagon er op, dan is de kans dat je de witte wagon trekt = 1/10.

Als je de stapel eerst splitst in 2 stapels van 5 kaarten, dan is er:
- 1 stapel van 5 kaarten zonder witte wagon er in, de kans dat je hieruit de witte wagon trekt = 0
- 1 stapel van 5 kaarten met er in de witte wagon, de kans dat je hieruit de witte wagon trekt = 1/5
In dit geval is
(de kans op een witte wagon) = (de kans op de stapel met de witte wagon) * (de kans op de witte wagon in deze stapel)
= (1/2) * (1/5) = 1/10.

Als je de stapel zonder wagon trekt (met kans 1/2) is daarna je kans op een witte wagon inderdaad 0 %.
Maar deze stapel kan ook bij de tegenstander belanden, en dan wordt jouw kans op een witte wagon 2 keer zo groot als oorspronkelijk.
De totale kans blijft daardoor hetzelfde (= "(1/2)*0 + (1/2)*(dubbele kans) = dezelfde kans op wit").

Lost dit je probleem op?

Mathfreak
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 08 mei 2020, 23:12

Re: Kansberekening bij Ticket to Ride

Bericht door Mathfreak » 10 mei 2020, 13:02

Dag Arie,

Wat ontzettend bedankt dat je de moeite hebt genomen dit uit leggen. Echter zijn mijn vrouw en zoon nog steeds niet overtuigd dat 1 stapel hetzelfde oplevert als 2 stapels. Ondanks dat ik ze jouw reactie heb laten lezen. Bij 1 stapel hou je kans op een witte, totdat alle witte er uit zijn, bij 2 stapels heb je kans dat er geen witte inzit, en dan heb je dus 0 kans op er 1 te pakken, houden ze vol en vinden ze 2 stapels minder eerlijk.

Mij lukt het niet om het ze goed uit te leggen, of ik moet je reactie verkeerd begrepen hebben.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3583
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Kansberekening bij Ticket to Ride

Bericht door arie » 11 mei 2020, 10:51

Het gaat er om dat de kans op de uitkomst niet verandert door de manier waarop je je trekking doet.
In je klaver aas voorbeeld:
Als de kaarten geschud zijn maakt het niet uit hoe je je kaart trekt:
- de bovenste,
- de onderste,
- de middelste,
- of waar dan ook,
steeds is je kans dat je getrokken kaart klaver aas is gelijk aan 1/52.
Je kan ook de stapel in twee stapels splitsen en de speler 1 stapel laten kiezen waar hij mee verder gaat,
die stapel vervolgens weer in tweeen splitsen en de speler weer laten kiezen met welke hij verder gaat,
etc. etc,
net zo lang tot er 1 kaart overblijft die je omdraait.
Ook dan is de kans dat die kaart de klaver aas is 1/52.

Als je 1 kaart kiest (zonder verdere kennis), bijft de kans op klaver aas altijd 1/52.
Bij trekking van kaart 20 uit 1 grote stapel kan je direct naar de uitkomst (= wat er op kaart 20 staat) kijken,
maar je kan ook eerst kaart 1 t/m 19 één voor één omdraaien.
Zodra je daarbij de klaver aas tegenkomt, weet je dat de kans dat kaart 20 klaver aas is = nul is, en dat doorgaan geen zin meer heeft (in de rest van de stapel maak je geen kans meer op klaver aas).
Maar dat betekent niet dat de trekking daardoor niet meer eerlijk is.
Bij elke nieuwe ronde is
- de kans dat de 20e kaart klaver aas is = 1/52
- de kans dat klaver aas bij kaart 1 t/m 19 zit = 19/52
- de kans dat klaver aas bij kaart 21 t/m 52 zit = 32/52

Zou vooraf bekend zijn dat de klaver aas bij de eerste 19 kaarten zit, dan heeft trekking van de 20e kaart inderdaad geen zin: de kans dat die kaart klaver aas is, is dan nul.
Maar het punt is dat je dat vooraf niet weet: op het moment dat je je kaart kiest, is er geen verdere informatie bekend.
De klaver aas kan bij de eerste 19 zitten, de 20e kaart zijn, of bij de laatste 32 zitten.


Evenzo is bij het Ticket spel geen informatie vooraf bekend waar of in welke stapel de witte kaarten zitten.
Het kan zijn dat ze allemaal in de andere stapel zitten, maar dat is dan bij toeval bepaald, en niet door manipulatie (niet door oneerlijke handelingen).
Je winstkansen veranderen daardoor niet.
Als achteraf blijkt dat er bij toeval geen witte kaarten in jouw stapel zitten, betekent het niet dat je aan het begin van het spel geen kans maakte op een witte kaart: die witte kaarten konden overal zitten, en iedereen had gelijke kansen om die witte kaart(en) te trekken.


Helpt dit, of maakt dit het alleen nog maar erger?

Mathfreak
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 08 mei 2020, 23:12

Re: Kansberekening bij Ticket to Ride

Bericht door Mathfreak » 14 mei 2020, 06:25

Top. Dit helpt zeker. Enorm bedankt voor je tijd en uitleg.

Plaats reactie