oppervlak van een gedeelte van een ring

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
gjvv75
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 06 sep 2017, 07:25

oppervlak van een gedeelte van een ring

Bericht door gjvv75 » 12 mei 2020, 15:31

Hallo,

Ik heb weer een leuk vraagstuk waar ik niet uit kom.
Ik wil het oppervlak weten van een deel van een ring.

In een tekenprogramma kan globaal achterhalen wat het oppervlak is, en hoe groot de hoek is (als ik die al nodig heb).
Ik zou graag willen weten hoe ik dit oppervlak kan berekenen, zodat ik dit "eenvoudig" op andere situaties kan toepassen.

https://drive.google.com/open?id=1tHnk9 ... 72PA2UYIvp

Vriendelijke groeten,

Gert-Jan

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1912
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: oppervlak van een gedeelte van een ring

Bericht door arno » 12 mei 2020, 18:42

Het gebied bevindt zich in de onderste helft van de ring, en de totale oppervlakte van de onderste helft van de ring is bekend. Als je nu weet welk deel 20,5° van 180° is weet je ook welk deel het gebied van de totale oppervlakte van de onderste helft van de ring is.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3528
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: oppervlak van een gedeelte van een ring

Bericht door arie » 12 mei 2020, 21:58

Afbeelding

Noem de kleine straal r = OS = 6
de grote straal R = OQ = OP = 16
Gegeven verder: PQ = (p=3.62%) van de cirkel met straal R

Dan is \(\beta = \angle POQ = \frac{p}{100}\cdot 360^\circ = 13.032^\circ\)

Het oppervlak van cirkelsector POQ (= het groene en gele gebied samen) =
\(\pi\cdot R^2 \cdot \frac{\beta}{360} = \pi\cdot R^2 \cdot \frac{p}{100} = \pi \cdot 16^2 \cdot 0.0362 \approx 29.113767\)

Via de cosinusregel (https://nl.wikipedia.org/wiki/Cosinusregel) bepalen we de lengte van PS:
\(PS^2 = OP^2 + OS^2 - 2\cdot OP \cdot OS \cdot \cos(\beta)\)
dus
\(PS =\sqrt{ 16^2 + 6^2 - 2\cdot 16 \cdot 6 \cdot \cos(13.032)} \approx 10.24427151732\)

Verder is
\(PT = h = OP\cdot \sin(\beta) = 16 \cdot \sin(13.032) \approx 3.60792336\)

en omdat \(\sin(\alpha) = \frac{PT}{PS}\), is
\(\alpha = \text{asin}\left( \frac{PT}{PS}\right) = \text{asin}\left( \frac{3.60792336}{ 10.24427151732}\right) \approx 20.621284354^\circ\)

Het oppervlak van driehoek OSP (groen) = basis * halve hoogte =
\(\frac{1}{2}\cdot OS \cdot h \approx 10.8237700865\)

Het oppervlak van SPQ (het gele gedeelte) is dus =
het oppervlak van sector POQ - het oppervlak van driehoek OSP =
\(29.113767 - 10.8237700 = 18.2899973528\; m^2\)

gjvv75
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 06 sep 2017, 07:25

Re: oppervlak van een gedeelte van een ring

Bericht door gjvv75 » 13 mei 2020, 06:58

bedankt voor de reacties!

Het is duidelijk nu.

Ik zat gisteravond ook nog na te denken over dit vraagstuk.

Mag ik niet heel simpel (minder nauwkeurig) het volgende stellen?

In plaats van de "taartpunt" te zien als deel van de ring, kan ik dit ook zien als een deel van een nieuwe cirkel met straal 10m.
De kromming PQ zou dan wel anders zijn, maar dat even terzijde.
De 3,62% is op basis van een cirkel met straal 32m.
De omtrek van de grote cirkel is 100,53m.
De omtrek van de "nieuwe" cirkel 62,83m.
De 3,62% wordt dan 100,53/62,83 * 3,62% = 5,79%
Hoek a is dan 5,79% x 360 = 20,85 graden.

Daarmee zou ik dan globaal het oppervlak kunnen bepalen.

Maar ja, termen als "minder nauwkeurig" en "globaal" passen niet in een wereld van echte wiskunde :wink:

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3528
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: oppervlak van een gedeelte van een ring

Bericht door arie » 13 mei 2020, 07:58

In de wiskunde kunnen we waarden wel benaderen, net als jij hier gedaan hebt.
Je hoeft daarbij overigens niet eens eerst de omtrek te berekenen de verhouding van de stralen volstaat:

\(\frac{\text{omtrek grote cirkel}}{\text{omtrek kleine cirkel}} = \frac{2\pi R}{2 \pi r} = \frac{R}{r} = \frac{16}{10} = 1.6\)

Je nieuwe \(\alpha = 20.8512 \) wijkt dan slechts 1.11% af van de waarde 20.621284354 die we eerder vonden.

Voor het oppervlak kom ik dan uit op

\(B = \frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2 = 18.196104649 \), een afwijking van slechts 0.5% van de eerdere waarde.

Voor kleine hoek alfa is deze benadering waarschijnlijk goed genoeg.
Let er wel op dat de afwijking groter zal worden naarmate alfa groter wordt.

Plaats reactie