Stelling: Ik ga aantonen dat de volgende strategie haalbare Nash strategie is voor het schaakspel. Als de speler een Nash strategie volgt, is het slechtst mogelijke resultaat dat de speler kan behalen, een gelijkspel. De speler die deze strategie dus volgt, gaat ofwel winnen ofwel gelijkspel spelen.
Ik zou dit willen geverifieerd zien, want als mijn propositie onjuist is, heeft het geen zin van de vermelde programma's te schrijven. Dan gaat dat immers allemaal niet werken.
Kan er iemand de fouten aanduiden in onderstaande redenering? Bedankt voor de moeite.
A. Definities
A.1. Spelers of kleuren in het schaakspel
W= wit, B = zwart
A.2. Stukken in het schaakspel
K = koning, Q=koningin, R=toren, B=loper, N=paard, P=pion
A.3. Plaatsen op het schaakbord
Ze gaan van A1 tot H8.
A.4. Situaties in het schaakspel
Een situatie in het schaakspel wordt beschreven via de verzameling van 3-tallen Situatie{(plaats,kleur,stuk)}. Lege plaatsen komen niet voor in een situatie. Elke mogelijke situatie heeft een uniek nummer, het situatieid.
A.5. Zetten in het schaakspel
Een zet in het schaakspel is een verzamelingen van 4-tallen Zet{(plaatsVan,kleur,stuk, plaatsNaam)}.
Meer dan één stuk kan van plaats veranderen in één zet. De zet is dus een verzameling. Elke mogelijke zet heeft een uniek nummer, de zetid. Noteer dat een zet ook een kleur heeft.
A.6. Overgangen in een schaakspel
Een uitgaande overgang is een 3-tal overgang(situatie1id,situatie2id,zetid), waarbij voor de kleur van zetid,een stuk wordt verzet van plaatsVan naar plaatsTot, via dewelke de speler de situatie op het schaakbord verandert van situatie1id naar situatie2id.
Voor elke situatie1id, bestaat er een verzameling van geldige witte zetten en een verzameling van geldige zwarte zetten, en bijgevolg een verzameling van geldige nieuwe situaties {situatie2id} per kleur.
Tegelijkertijd, voor elke situatie2id, bestaat er een verzameling van geldige witte zetten en geldige zwarte zetten {situatie1id}, die situatie2id scheppen.
Noteer dat een overgang wordt veroorzaakt door een zet. Een overgang is echter geen zet, want een zet zal in een andere situatie aan de basis van een andere overgang liggen.
B. De Nash uitbetalingsregeling
B.1. De Situatie-uitbetalingen
Elke situatie in het schaakspel is een Nash spel. Het ganse schaakspel is een Nash spel van Nash spelen. De Nash situatie-uitbetalingsregeling, bestaat in een uitbetalingsstatus voor wit en een uitbetalingsstatus voor zwart; voor elke situatie.
Elke overgang in het schaakspel is een Nash spel. Het ganse schaakspel is opnieuw een Nash spel van Nash spelen. De Nash overgang-uitbetalingsregeling, bestaat in een uitbetalingsstatus voor wit en een uitbetalingsstatus voor zwart; voor elke overgang.
B.2. De uitbetalingsstatus voor de kleur
De uitbetalingsstatus voor de situatie of de overgang is equinash [=] voor wit, als de best mogelijke opeenvolging van overgangen voor wit, gecontreerd door de best mogelijke opeenvolging van overgangen voor zwart, leidt tot een gelijkspel voor wit. Mutatis mutandis voor zwart.
De uitbetalingsstatus voor de situatie of de overgang is supranash [+] voor wit, als de best mogelijke opeenvolging van overgangen voor wit, gecontreerd door de best mogelijke opeenvolging van overgangen voor zwart, leidt tot een overwinning voor wit. Mutatis mutandis voor zwart.
De uitbetalingsstatus voor de situatie of de overgang is infranash [-] voor wit, als de best mogelijke opeenvolging van overgangen voor wit, gecontreerd door de best mogelijke opeenvolging van overgangen voor zwart, leidt tot een nederlaag voor wit. Mutatis mutandis voor zwart.
B.3. Eindsituaties in het schaakspel
Als er geen geldige overgangen meer mogelijk zijn uit een situatie, dan is de situatie een eindsituatie. De regels van het schaakspel zullen dan een van de drie uitbetalingsregelingen toekennen voor de spelers [wit zwart] aan de eindsituatie [==] of [-+] of [+-]. We veronderstellen dat elke eindsituatie een uitbetalingsregeling heeft.
B.4. Beginsituatie en tussentijdse situaties
Zolang er geen enkele opeenvolging van overgangen vertrekkende uit een tussentijdse situatie een eindsituatie bereikt, blijft de uitbetalingsregeling voor de situatie onbekend.
B.5. Nash uitbetalingsregeling voor de inkomende overgangen
Alle overgangen die toekomen in een situatie, verkrijgen de uitbetalingsregeling van de situatie in dewelke ze aankomen.
B.6. Nash uitbetalingsregeling voor tussentijdse situaties
- Als er minstens één uitgaande overgang uit een situatie vertrekt, voor de speler die aan zet is, en die supranash is [+], wordt de ganse situatie voor deze speler supranash; of anders
- Als er minstens één uitgaande overgang uit een situatie vertrekt, voor de speler die aan zet is, en die equinash is [=], dan wordt de ganse situatie voor deze speler equinash; of anders
- Als alle uitgaande overgangen die uit een situatie vertrekken, voor de speler die aan zet is, infranash [-] zijn, dan wordt de ganse situatie voor deze speler infranash. Zolang er één of meerdere uitgaande overgangen vertrekken uit deze situatie waarvan de uitbetalingsregeling voor de speler aan zet, onbekend is, kunnen we deze situatie niet als infranash bestempelen voor deze speler.
C. De databank
Het is mogelijk een databank samen te stellen met alle mogelijke situaties en alle mogelijke overgangen die vertrekken uit deze situaties. De regels van het schaakspel laten niet toe dat een schaakspel eeuwig duurt. Bijgevolg eindigen alle schaakspellen in een eindsituatie. Terugwerkende van elke mogelijke eindsituatie, kan aan elke overgang die in de eindsituatie toekomen, een Nash uitbetalingsregeling worden toegekend. Via de uitbetalingsregeling voor de overgang, kan aan elke tussentijdse situaties eveneens een situatie worden toegekend. Men kan dus achteruit werken, en aan elke mogelijke situatie een uitbetalingsregeling toekennen, tot en met de beginsituatie. Von Neumann bewijst dat de beginsituatie de volgende uitbetalingsregeling heeft [==].
D. Spelstrategie
De speler kan zelf de situatie niet supranash maken. Hij moet willekeurig blijven kiezen voor die zetten die leiden tot een volgende situatie waar de tegenspeler geen zet kan maken die supranash is voor hem. Het heeft helemaal geen belang welke alternatieve zet de speler maakt. Alle zetten die aan bovenstaande voorwaarde voldoen zijn gelijkwaardig. De speler mag daar willekeurig uit kiezen. De speler dient te wachten tot de tegenspeler een zet doet, die leidt tot een situatie waar hij aan zet is en die supranash is voor hem. Als dat gebeurt, dan wint de speler. Zoniet, is het gelijkspel.
E. Programma's.
Eén programma berekent op voorhand de volledige lijst van situaties en overgangen door volledige enumeratie. Vervolgens verspreidt dit programma de uitbetalingsregelingen voor de eindsituaties over alle overgangen en tussentijdse en situaties.
Het andere programma vertelt de speler wat de uitbetalingsregeling is voor de situatie waar het spel zich in bevindt, door het situatierecord op te halen in de databank. Voor elke zet die de speler overweegt, vertelt het programma wat de uitbetalingsregeling wordt in de volgende situatie, en waarschuwt hem als die vervolgsituatie voor de speler infranash blijkt te zijn.
Alle andere spelregels van het schaakspel die hier niet worden vermeld, hebben enkel invloed op de geldigheid van een zet, en dienen in aanmerking te worden genomen bij de opsomming van alle mogelijke zetten vanuit een situatie.
Als deze Nash strategie waar is, dan kan je de bijhorende databank, van enkele tientallen of misschien honderden megabytes, maar ik vermoed zeker niet meer dan een gigabyte, in je mobieltje duwen, en dan kan niemand je nog bij het schaken verslaan.