Dobbel spelletje

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
jochemve
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 07 jan 2021, 12:01

Dobbel spelletje

Bericht door jochemve » 07 jan 2021, 12:20

Goedemiddag,

Ik speel met met mijn zus en geregeld binnen de familie het spelletje "dobbelen". In dit spel wordt met 6 dobbelstenen gegooid, en is het doel om de getallen 1-12 allemaal 5 keer te gooien. De getallen 1-6 moet met 1 dobbelsteel, 7-12 moet je met twee dobbelstenen maken. Per beurt mag je 3x gooien: als je besluit om in een beurt iets te gaan sparen (bijvoorbeeld 3 vijfen), dan mag je daarna met de andere dobbelstenen gooien om hetzelfde proberen te gooien. Dit hoeft niet: dus je mag ook alle 6 dobbelstenen opnieuw gooien
na de derde worp wordt de score bijgehouden. nu geldt:
- Als je alle zes de dobbelstenen hebt gebruikt in een beurt mag je nog een keer (dus bijvoorbeeld 3x7)
- als je een getal vol maakt. (dus het 5e streepje zet).

Nu ben ik voor mezelf gaan afvragen: wat zijn kansen op verschillende worpen? en dus: hoe te berekenen? Ik zat al wat te klooien in Excel, maar zag al snel dat het te groot werd.

Nu kwam ik bij het googlen op deze site, en denk dat hier hele slimme mensen zitten :)

Nu kwamen we er al spelenderwijs al achter dat je best vaak "3x 7" gooit, bijvoorbeeld de worp 1-2-3-4-5-6, of 2-2-3-4-5-5.
Maar: hoe bereken je die kans? - en dus generieker ook bijvoorbeeld ook 3x 8, 3x9 of 3x 10? (de kans op 3x12 is makkelijk:(1/6)^6)....

En moeilijker (voor mij): de kans op 2 x een zeven, (of 8,9,10,11,12)

Als laatste: stel je hebt een 11: (dus een 5, 6 en 4 willekeurige), dan gooi je met 4 dobbelstenen over: wat is die kans op een 11; of kan je beter alles opnieuw gooien?

Groeten,
Jochem

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3583
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Dobbel spelletje

Bericht door arie » 07 jan 2021, 20:01

jochemve schreef: Nu kwamen we er al spelenderwijs al achter dat je best vaak "3x 7" gooit, bijvoorbeeld de worp 1-2-3-4-5-6, of 2-2-3-4-5-5.
Maar: hoe bereken je die kans? - en dus generieker ook bijvoorbeeld ook 3x 8, 3x9 of 3x 10? (de kans op 3x12 is makkelijk:(1/6)^6)....
Noteer de uitkomst van dobbelsteen1 t/m dobbelsteen6 als een rijtje waarden (elke waarde 1 t/m 6 (= aantal ogen)).
Voorbeeld:
6-6-3-6-2-6
Er zijn dan 6*6*6*6*6*6 = 6^6 = 46656 verschillende van deze rijtjes mogelijk.

3x12:
12 scoren met 2 dobbelstenen is alleen mogelijk met twee zessen.
3x12 scoren met 6 dobbelstenen is dus alleen mogelijk met zes zessen.
1 van onze 46656 rijtjes heeft alleen maar zessen, de kans op dit rijtje = (1/6)^6 = 1 / 6^6 = 1 / 46656 = 0.00002143347...
Dit had je zelf al gevonden.

3x11:
11 scoren met 2 dobbelstenen is alleen mogelijk met een 6 en een 5
3x11 scoren met 6 dobbelstenen is dus alleen mogelijk met 3 keer {6, 5} = 3 zessen en 3 vijven.
De 6 scores kunnen we op 6! = 720 manieren op een rij zetten.
Maar omdat de 3 zessen niet van elkaar te onderscheiden zijn moeten we dit aantal door 3! = 6 delen.
Dit geldt ook voor de 3 vijven.
In totaal zijn er dus 6! / (3! * 3!) = 20 verschillende rijtjes te maken met 3 zessen en 3 vijven.
Dit geeft een kans van 20 / 46656 = 0.00042866941...

3x10:
10 scoren met 2 dobbelstenen is mogelijk met {6, 4} of met {5, 5}
3x10 scoren met 6 dobbelstenen is dus mogelijk met:
- 3 keer {6, 4} en 0 keer {5, 5}: 6!/(3!*3!) = 20 mogelijke rijtjes(we hebben nu alle rijtjes met 3 keer een 6 en 3 keer 4)
- 2 keer {6, 4} en 1 keer {5, 5}: 6!/(2!*2!*2!) = 90 mogelijke rijtjes (we hebben rijtjes met 2 keer een 6, 2 keer 4 en 2 keer 5)
- 1 keer {6, 4} en 2 keer {5, 5}: 6!/4! = 30 mogelijke rijtjes (we hebben rijtjes met 4 keer 5, 1 keer 6 en 1 keer 4)
- 0 keer {6, 4} en 3 keer {5, 5}: 6!/6! = 1 mogelijk rijtje (we hebben een rijtjes met 6 keer 5)
We hebben dus 20 + 90 + 30 + 1 = 141 verschillende rijtjes die ieder 3 keer 10 scoren.
Dit geeft een kans van 141 / 46656 = 0.00302211934...

3x9:
9 scoren met 2 dobbelstenen is mogelijk met {6, 3} of met {5, 4}
3x9 scoren met 6 dobbelstenen is dus mogelijk met:
- 3 keer {6, 3} en 0 keer {5, 4}: 6!/(3!*3!) = 20 mogelijke rijtjes(we hebben nu alle rijtjes met 3 keer een 6 en 3 keer 3)
- 2 keer {6, 3} en 1 keer {5, 4}: 6!/(2!*2!) = 180 mogelijke rijtjes (we hebben rijtjes met 2 keer een 6, 2 keer 3, 1 keer 5 en 1 keer 4)
- 1 keer {6, 3} en 2 keer {5, 4}: 6!/(2!*2!) = 180 mogelijke rijtjes (we hebben rijtjes met 1 keer 6, 1 keer 3, 2 keer 5 en 2 keer 4)
- 0 keer {6, 3} en 3 keer {5, 4}: 6!/(3!*3!) = 20 mogelijk rijtjes (we hebben nu rijtjes met 3 keer een 5 en 3 keer 4)
We hebben dus 20 + 180 + 180 + 20 = 400 verschillende rijtjes die elk 3 keer 9 scoren.
Dit geeft een kans van 400 / 46656 = 0.0085733882...

Systematisch doorwerken levert zo:
voor 3x8: 1001 mogelijkheden, een kans van 1001 / 46656 = 0.021454903978...
voor 3x7: 1860 mogelijkheden, een kans van 1860 / 46656 = 0.039866255144...

jochemve schreef: En moeilijker: de kans op 2 x een zeven, (of 8,9,10,11,12)
2x12
Nu moeten we nog meer onderscheid maken:
2 keer 12 met 3 dobbelstenen kan door een worp met:
(A) 2 keer {6, 6} en 1 keer {6, x}, waarbij x ongelijk aan 6, dus x = 1, 2, 3, 4 of 5:
we hebben nu 5 zessen en 1 andere waarde x: 6! / 5! = 6 rijtjes met 5 zessen en 1 keer x
met voor elke x een ander rijtje geeft dat met de 5 mogelijke waarden van x in totaal 6 * 5 = 30 mogelijke rijtjes
(B) 2 keer {6, 6} en 1 keer {x, x}, waarbij x ongelijk aan 6, dus x = 1, 2, 3, 4 of 5:
we hebben nu 4 zessen en 2 gelijke andere waarden x: 6! / (4!*2!) = 15 rijtjes met 4 zessen en 2 keer x,
met voor elke x een ander rijtje, geeft dat met de 5 mogelijke waarden van x in totaal 15 * 5 = 75 mogelijke rijtjes
(C) 2 keer {6, 6} en 1 keer {x, y}, waarbij x en y verschillend en allebei ook ongelijk aan 6
Er zijn \({5 \choose 2} = 10\) mogelijke combinaties om 2 verschillende getallen x en y uit 5 verschillende getallen (hier: 1 t/m 5) te kiezen.
We hebben nu 4 zessen, 1 keer x en 1 keer y: 6! / 4! = 30 rijtjes met 4 zessen en 1 keer x en 1 keer y,
met voor elk van de 10 tweetallen {x, y} een ander rijtje, dat geeft 30 * 10 = 300 mogelijke rijtjes
Opgeteld bestaan er dus 30 + 75 + 300 = 405 verschillende rijtjes die 2x12 opleveren.
De kans op 2x12 met 6 dobbelstenen is dus 405 / 46656 = 0.0086805555555...

Opnieuw systematisch doorwerken geeft nu:
voor 2x11: 1950 mogelijkheden, een kans van 1950 / 46656 = 0.0417952674897...
voor 2x10: 5535 mogelijkheden, een kans van 5535 / 46656 = 0.118634259259...
voor 2x9: 9060 mogelijkheden, een kans van 9060 / 46656 = 0.194187242798...
voor 2x8: 14745 mogelijkheden, een kans van 14745 / 46656 = 0.31603652263...
voor 2x7: 19170 mogelijkheden, een kans van 19170 / 46656 = 0.4108796296296...

jochemve schreef: Als laatste: stel je hebt een 11: (dus een 5, 6 en 4 willekeurige), dan gooi je met 4 dobbelstenen over: wat is die kans op een 11?
De uitkomst van elke dobbelsteen is onafhankelijk van de uitkomst van de andere dobbelstenen.
De uitkomst van de 4 stenen die je opnieuw gooit is dus onafhankelijk van de eerste 2 stenen die je bewaart (bv. 11)
De berekening gaat verder hetzelfde als hierboven, alleen nu niet voor 6 maar voor 4 dobbelstenen.
In totaal zijn er nu 6^4 = 1296 mogelijke rijtjes.

Met 4 dobbelstenen:
2x12: 1 / 1296 = 0.000771604938...
2x11: 6 / 1296 = 0.0046296296...
2x10: 19 / 1296 = 0.01466049382716...
2x9: 36 / 1296 = 0.027777777777...
2x8: 61 / 1296 = 0.0470679012345679...
2x7: 90 / 1296 = 0.0694444444444444...

Met 4 dobbelstenen:
1x12: 170 / 1296 = 0.1311728395...
1x11: 296 / 1296 = 0.2283950617...
1x10: 442 / 1296 = 0.341049382716...
1x9: 544 / 1296 = 0.41975308641975...
1x8: 666 / 1296 = 0.513888888888...
1x7: 744 / 1296 = 0.574074074074...

jochemve
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 07 jan 2021, 12:01

Re: Dobbel spelletje

Bericht door jochemve » 08 jan 2021, 00:19

Wow fantastisch. Ik moet het morgen nog eens goed narekenen :). Bedankt voor je heldere uitleg!

Dan ga ik vooral goed lezen hoe vooral al die binomiale verdelingen worden gebruikt: wanneer is nu iets generiek, en wanneer nu onder een andere valt, zoals je voorbeeld van de 2x12: ik snap 6 en x, dan x en x, en als laatste x en y; maar hoe zit het dan met

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3583
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Dobbel spelletje

Bericht door arie » 08 jan 2021, 08:54

Een iets andere manier om het aantal rijtjes met 2x12 met 6 dobbelstenen te bepalen:
(gebruik eerst binomiaalcoefficienten om de zessen te plaatsen):
- 6x6 kan niet: dan hebben we 3x12
- 5x6: er zijn \({6 \choose 5}=6\) mogelijkheden om de 5 zessen in het rijtje te plaatsen, voor de vrije plaats hebben we dan steeds 5 mogelijkheden: een 1, 2, 3, 4 of 5. In totaal: \({6 \choose 5} \times 5 = 6 \times 5 = 30\) mogelijke rijtjes
- 4x6: er zijn \({6 \choose 4}=15\) mogelijkheden om de 4 zessen in het rijtje te plaatsen, voor elk van de 2 vrije plaats (= de eerste vrije plaats EN de tweede vrije plaats) hebben we dan steeds 5 mogelijkheden: een 1, 2, 3, 4 of 5. In totaal: \({6 \choose 4} \times 5 \times 5 = 15 \times 5 \times 5 = 375\) mogelijke rijtjes
- met 3 of minder zessen kunnen we nooit 2x12 krijgen
In totaal zijn er dus 30 + 375 = 405 mogelijk rijtjes, precies zoals we eerder al gevonden hadden.

PS:
Je vraag in je laatste post ("hoe zit het dan met") lijkt weggevallen.

Plaats reactie