Kansberekening

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Henry123
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 14 jan 2021, 20:18

Kansberekening

Bericht door Henry123 » 14 jan 2021, 20:24

Hoi! Hoe bereken je dit: er zitten 50 knikkers in een pot (allemaal dezelfde kleur). Elke keer als je een knikker pakt moet je de knikker terugleggen. Hoeveel keer moet je een knikker pakken totdat je ze allemaal hebt aangeraakt.

Sorry, kansberekening is niet mijn sterkste kant :(

Henry123
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 14 jan 2021, 20:18

Re: Kansberekening

Bericht door Henry123 » 14 jan 2021, 20:37

Ik kan het ook anders zeggen. Je hebt een pot met 50 rode knikkers. Elke keer als je een rode knikker pakt, dan kleur je die blauw. Hoeveel keer moet je een knikker pakken totdat alle knikkers blauw zijn.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3583
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Kansberekening

Bericht door arie » 15 jan 2021, 09:39

Het gaat om het verwachte aantal trekkingen, dus hoeveel keer je gemiddeld een knikker uit de pot moet halen voordat ze allemaal blauw zijn.
Het kan zijn dat je 50 keer achter elkaar alleen maar rode knikkers trekt (die kans is heel erg klein),
maar het kan ook zijn dat je heel erg lang alleen maar blauwe trekt voordat je je laatste rode te pakken hebt.
Het verwachte aantal trekkingen ligt dus ergens tussen 50 en oneindig.

We gaan nu dit verwachte aantal berekenen:
[1] Voor de eerste knikker heb je 1 trekking nodig (ze zijn allemaal nog rood), die kleur je blauw.
[2] Knikker 2: er zijn nu 1 blauwe en 49 rode knikkers van de in totaal 50 knikkers.
De kans dat je een rode knikker trekt is dus 49/50.
Het aantal keren dat je naar verwachting moet trekken om een rode te krijgen is 1 gedeeld door deze kans:
\(\frac{1}{49/50} = \frac{50}{49}\)
(vergelijk dit met een dobbelsteen: de kans om 4 te gooien is 1/6, je moet naar verwachting \(\frac{1}{1/6} = 6\) keer gooien om een 4 te krijgen).
[3] Knikker 3: er zijn nu 2 blauwe en 48 rode knikkers van de in totaal 50 knikkers.
De kans dat je een rode knikker trekt is dus 48/50.
Het aantal keren dat je naar verwachting moet trekken om een rode te krijgen is 1 gedeeld door deze kans:
\(\frac{1}{48/50} = \frac{50}{48}\)

\(\vdots\)

[50] Knikker 50: er zijn nu 49 blauwe en 1 rode knikkers van de in totaal 50 knikkers.
De kans dat je een rode knikker trekt is dus 1/50.
Het aantal keren dat je naar verwachting moet trekken om een rode te krijgen is 1 gedeeld door deze kans:
\(\frac{1}{1/50} = 50\)

Als we al deze aantallen optellen krijgen we het totaal aantal keren dat je naar verwachting knikkers uit de pot moet trekken:
\(1+\frac{50}{49}+\frac{50}{48}+\frac{50}{47} + ... +\frac{50}{2} + 50\)
\(= \frac{50}{50}+\frac{50}{49}+\frac{50}{48}+\frac{50}{47} + ... +\frac{50}{2} + \frac{50}{1}\)
\(= 50\cdot \left(\frac{1}{50}+\frac{1}{49}+\frac{1}{48}+\frac{1}{47} + ... +\frac{1}{2} + \frac{1}{1}\right) \approx 224.960266916...\)


PS:
De optelling van al die breuken is het 50e harmonische getal:
\(H_{50}= \frac{1}{50}+\frac{1}{49}+\frac{1}{48}+\frac{1}{47} + ... +\frac{1}{2} + \frac{1}{1} \)
Het n-de harmonisch getal kan je benaderen via:
\(H_n \approx \gamma + \ln(n) + \frac{1}{2n}\)
waarbij \(\gamma \approx 0.57721566490... \) = de constante van Euler-Mascheroni
(zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Constante ... Mascheroni)

Als je het optellen van al die breuken te veel werk vindt, dan kan je je antwoord dus ook benaderen via:
\(50\cdot H_{50} \approx 50 \cdot \left(0.57721566490+\ln(50)+\frac{1}{2\cdot 50}\right)\approx 224.9619335\)


PPS:
Je probleem is bekend als het coupon collectors probleem, zie bijvoorbeeld:
https://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_co ... 7s_problem
(er is geen Nederlandse versie van deze pagina).
In de eerste alinea geven ze als voorbeeld het verzamelen van (net als hier) n=50 verschillende coupons: hiervoor heb je naar verwachting 225 trekkingen nodig.

Henry123
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 14 jan 2021, 20:18

Re: Kansberekening

Bericht door Henry123 » 15 jan 2021, 15:43

Hartelijk bedankt voor je uitgebreide uitleg, Arie! Ik snap het nu helemaal.

Ik heb nog een vraagje: elke keer de tweede keer als je 1/48 schrijft, bedoel je niet 1/47?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3583
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Kansberekening

Bericht door arie » 15 jan 2021, 17:32

Inderdaad, goed opgemerkt! Dat is nu hierboven gecorrigeerd.

Plaats reactie