Variabel Punt - Formule maken

[Sethis]

Informatie:
In Australië wil een ondernemer een hoogspanningsverbinding aan laten leggen van punt O naar variabel punt X (op het zandpad).
En vandaar door het moeras naar verdeelpunt Z. Op het zandpad zijn de kosten voor de hoogspannings verbinding 2 miljoen dollar per kilometer en door het moeras 3 miljoen dollar per kilometer. De plaats van punt X moet nog worden vastgesteld.

Gegevens:
Afstand OY = 55km
Afstand YZ = 44km



De vraag:
Wat bedraagt de afstand tussen O en X indien de verbinding tot stand wordt gebracht onder de voorwaarde van minimale kosten en wat zijn dan de totale kosten voor de hoogspanningsverbinding?

[Wim DC]

Je zal een functie moeten maken y=f(x) waarbij y de totale kost is zodat je deze kunt afleiden en het minimum zoeken.
in plaats van 2miljoen en 3 miljoen zal ik gewoon 2 en 3 gebruiken
de afstand YX zal ik 'a' noemen de prijs 'p' V()= vierkantswortel
p = (55-a) *2 + V(a²+44²) *3
dit is de formule voor de totale prijs. de variabele a zal de grootte ervan bepalen. om het minimum te vinden moet deze functie afgeleid worden en van de afgeleide het nulpunt gezocht worden. de x-waarde van het nulpunt van de afgeleide = de x-waarde van het minimum van de gewone functie (of a-waarde als je wil)

afgeleide=
p'=-2 + 3a / 2*V(a² + 44²)
denk ik toch, heb ik ff uit het hoofd gedaan...

dan p' nul maken en a eruit halen, met het programmaatje graphmatica is het nulpunt:39,3548

Deze waarde moet je dan voor a nemen dus YX=39,3548. als controle kan je even een rekenmachine nemen en eens 40 en 38 invullen om te kijken of die waarden echt wel hoger liggen dan de waarde bij 39,3548.

als je die a invult in de formule bekom je voor p: 208,387 dit moet je natuurlijk wel nog maal een miljoen doen

[mickey]

Is er ook iemand die dit uit kan leggen zonder het programmaatje graphmatica te gebruiken?

[tjeerd]

Ik doe een poging.
Aanlegprijs p = 3 (ZX) + 2 (OX)
Stel afstand XY = a;
Hieruit volgt afstand OX = 55 - a
De afstand ZX berekenen met stelling van Pythagoras

Dit geeft
Substitueren van ZX en OX in de formule voor de aanlegprijs p geeft:



de 1e afgeleide van p = p'






p' = 0 geeft de minimum waarde voor a.
Dus:












a invullen in de formule voor de aanlegprijs geeft de minumumprijs.
Controleren op minimumwaarde door twee waarden voor a dicht bij
de waarde 39,35 in te vullen (een ervoor en een erna).
Of de 2e afgeleide bepalen (voor de 0-waarde ----- en na de 0-waarde +++++)
Zo helder?