Machten

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Koen_R
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 23 mar 2021, 11:33

Machten

Bericht door Koen_R » 23 mar 2021, 11:37

Bekijk de volgende som:

x^3 + y^4 = z^5

Welke getallen moet je invullen voor x, y en z om de som kloppend te maken?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3583
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Machten

Bericht door arie » 23 mar 2021, 16:26

Dat hangt er van af met welke getallenverzameling je werkt.

Bijvoorbeeld:

[1] met \(\mathbb{R}\) = de reele getallen:
dan is voor elke x en y een z te vinden:
\(z = (x^3+y^4)^{1/5} = \sqrt[5]{x^3+y^4}\)

[2] met \(\mathbb{N}^+\) = positieve gehele getallen:
dan is niet voor elk tweetal (x, y) een z te vinden, maar zijn er nog steeds oneindig veel oplossingen,
zoals:
\(\left( 2^8 \right)^3 + \left( 2^6 \right)^4 = \left( 2^5 \right)^5\)
want
\(2^{24} + 2^{24} = 2^{25}\)
Andere oplossingen zijn in dit geval:
\(\left( 3\cdot 5^5 \right)^3 + \left( 5^4 \right)^4 = \left( 2\cdot 5^3 \right)^5\)
\(\left(2^5 \cdot 3^8 \right)^3 + \left( 2^4 \cdot 3^6 \right)^4 = \left( 2^3\cdot 3^5 \right)^5\)
\(\left( 2^4\cdot 7^5 \right)^3 + \left( 2^3 \cdot 7^4 \right)^4 = \left( 2^3 \cdot 7^3 \right)^5\)
etc.

Mocht je een bewijs willen dat er oneindig veel oplossingen zijn:
Neem bijvoorbeeld deze familie van oplossingen:
\(x=k \cdot t^5\)
\(y=t^4\)
\(z=n \cdot t^3\)
voor een nader te bepalen n, k en t.

Dan moet gelden:
\(x^3+y^4 = z^5\)
ofwel
\(\left(k \cdot t^5\right)^3 + \left(t^4\right)^4 = \left(n \cdot t^3\right)^5\)
ofwel
\(k^3 \cdot t^{15} + t^{16} = n^5 \cdot t^{15}\)
ofwel
\(k^3 \cdot t^{15} + t \cdot t^{15} = n^5 \cdot t^{15}\)
Als we \(t>0\) nemen, dan mogen we links en rechts door \(t^{15}\) delen:
\(k^3 + t = n^5 \)
ofwel:
\(t = n^5 - k^3 \)
Voor elke \(n \ge 2\) kan je nu een geschikte k kiezen (bijvoorbeeld k = n) zodanig dat ook t positief is.

Voorbeeld:
n=3: kies bijvoorbeeld k=6:
dan is \(t = n^5 - k^3 = 3^5 - 6^3 = 27\)
Nu krijgen we:
\(x = k \cdot t^5 = 6 \cdot 27^5\)
\(y=t^4 = 27^4\)
\(z=n \cdot t^3 = 3 \cdot 27^3\)
en inderdaad:
\(x^3 + y^4 = \left(6 \cdot 27^5\right)^3 + \left(27^4\right)^4 = 6^3 \cdot 27^{15} + 27\cdot 27^{15} = 243\cdot 27^{15} = 3^5 \cdot 27^{15} = z^5\)

Merk op dat het handiger is om met machten te werken. Als we alle getallen uitschrijven wordt het al snel heel erg groot.
In dit voorbeeld is het nog net te doen:
\(x = 6 \cdot 27^5 = 86093442\)
\(y =27^4 = 531441\)
\(z = 3 \cdot 27^3 = 59049\)
en
\(x^3 + y^4 = 86093442^3 + 531441^4 = 638131544614980078906888 + 79766443076872509863361\)
\(= 717897987691852588770249\)
en dit is gelijk aan
\(z^5 = 59049^5 = 717897987691852588770249\)


Kom je hiermee verder?

Plaats reactie