Wiskundeforum

Bekijk de volgende som:

x^3 + y^4 = z^5

Welke getallen moet je invullen voor x, y en z om de som kloppend te maken?

Dat hangt er van af met welke getallenverzameling je werkt.

Bijvoorbeeld:

[1] met \(\mathbb{R}\) = de reele getallen:
dan is voor elke x en y een z te vinden:
\(z = (x^3+y^4)^{1/5} = \sqrt[5]{x^3+y^4}\)

[2] met \(\mathbb{N}^+\) = positieve gehele getallen:
dan is niet voor elk tweetal (x, y) een z te vinden, maar zijn er nog steeds oneindig veel oplossingen,
zoals:
\(\left( 2^8 \right)^3 + \left( 2^6 \right)^4 = \left( 2^5 \right)^5\)
want
\(2^{24} + 2^{24} = 2^{25}\)
Andere oplossingen zijn in dit geval:
\(\left( 3\cdot 5^5 \right)^3 + \left( 5^4 \right)^4 = \left( 2\cdot 5^3 \right)^5\)
\(\left(2^5 \cdot 3^8 \right)^3 + \left( 2^4 \cdot 3^6 \right)^4 = \left( 2^3\cdot 3^5 \right)^5\)
\(\left( 2^4\cdot 7^5 \right)^3 + \left( 2^3 \cdot 7^4 \right)^4 = \left( 2^3 \cdot 7^3 \right)^5\)
etc.

Mocht je een bewijs willen dat er oneindig veel oplossingen zijn:
Neem bijvoorbeeld deze familie van oplossingen:
\(x=k \cdot t^5\)
\(y=t^4\)
\(z=n \cdot t^3\)
voor een nader te bepalen n, k en t.

Dan moet gelden:
\(x^3+y^4 = z^5\)
ofwel
\(\left(k \cdot t^5\right)^3 + \left(t^4\right)^4 = \left(n \cdot t^3\right)^5\)
ofwel
\(k^3 \cdot t^{15} + t^{16} = n^5 \cdot t^{15}\)
ofwel
\(k^3 \cdot t^{15} + t \cdot t^{15} = n^5 \cdot t^{15}\)
Als we \(t>0\) nemen, dan mogen we links en rechts door \(t^{15}\) delen:
\(k^3 + t = n^5 \)
ofwel:
\(t = n^5 - k^3 \)
Voor elke \(n \ge 2\) kan je nu een geschikte k kiezen (bijvoorbeeld k = n) zodanig dat ook t positief is.

Voorbeeld:
n=3: kies bijvoorbeeld k=6:
dan is \(t = n^5 - k^3 = 3^5 - 6^3 = 27\)
Nu krijgen we:
\(x = k \cdot t^5 = 6 \cdot 27^5\)
\(y=t^4 = 27^4\)
\(z=n \cdot t^3 = 3 \cdot 27^3\)
en inderdaad:
\(x^3 + y^4 = \left(6 \cdot 27^5\right)^3 + \left(27^4\right)^4 = 6^3 \cdot 27^{15} + 27\cdot 27^{15} = 243\cdot 27^{15} = 3^5 \cdot 27^{15} = z^5\)

Merk op dat het handiger is om met machten te werken. Als we alle getallen uitschrijven wordt het al snel heel erg groot.
In dit voorbeeld is het nog net te doen:
\(x = 6 \cdot 27^5 = 86093442\)
\(y =27^4 = 531441\)
\(z = 3 \cdot 27^3 = 59049\)
en
\(x^3 + y^4 = 86093442^3 + 531441^4 = 638131544614980078906888 + 79766443076872509863361\)
\(= 717897987691852588770249\)
en dit is gelijk aan
\(z^5 = 59049^5 = 717897987691852588770249\)


Kom je hiermee verder?