1/p en somteken kwadrateren? + extra vraagje

[Thomas]

Ik kan exact schrijven zonder een breuk te gebruiken, per toeval achter gekomen.


Maar ook (heeft er eigenlijk niet zo veel mee te maken):



Meer mijn vraag is. Hoe schrijf ik heel het kwadraat van de som als een nieuwe som.


Ik zie hier aan dat:


Dus:


Maar waarom? Is daar een bepaalde rekenregel voor? Ik zie het verband niet...

Achjah, ik vond het wel grappig dat je dus , waarbij een priemgetal van meer dan is, toch zonder een breuk te gebruiken exact kan opschrijven. gaat ook nog wel. Echter, ik probeerde er achter te komen hoe je exact zonder breuk kon schrijven, maar kwam hier niet uit. Iemand nog een idee?


Nog een ander vraagje:
voor
Waarom eigenlijk?

[SafeX]

Kan je iets meer vertellen over het 'toeval' bij je eerste vondst? (het is correct!)

Je laatste formule geldt voor -1<x<1. (let op het tweede ongelijkteken, dus niet x=1)

[Thomas]

Het is wel , want en

Is het mogelijk die formule met het somteken lager te krijgen?

Anyway, hoe ik er op kwam? Is het nogal speciaal dan? Want als ik er over nadenk heb ik het idee dat al meer dan de helft van alle wiskundigen dat wel weet...

Ik lag in bed en deelde 100 door 2, 3, 4 enz...

Bij de 7 dacht ik "hmmm, ongeveer 14... ietsje meer, 14.3? Nee, ietsje minder... 14.28 Even denken dat ik, 70+28+1.4+0.56 en dan is weer 99.96, 0.005*7 er bij kom je uit op 99.995.. wacht eens, 14.285.. oh wee als de het volgende decimaal een 6 is."

Ik mijn rekenmachine er bij pakken, intoetsen... "Hmm, klopt niet helemaal, maar dat komt zeker omdat het volgende weer 112 is en die eerste 1 moet je bij de 6 optellen..." En dat klopte, zo kwam ik er op.

Vervolgens delen door 100, en een rij er bij verzinnen. Je begint met 0.14 en je verdubbelt het telkens en deelt het door 100. Dus 2/100, maar dat heb ik veranderd in 0.02 omdat je anders mensen krijgt die zeuren dat het een breuk is.

Vervolgens 1/49 ingevuld en daar kwam een nog duidelijkere rij uit. Maar nu blijf ik me afvragen hoe je zo'n somteken kan kwadrateren. Of hoe je dat ook moet zeggen, iemand een idee?

[SafeX]

Je laatste formule geldt voor -1<x<1. (let op het tweede ongelijkteken, dus niet x=1)

Het is wel , want en
Is het mogelijk die formule met het somteken lager te krijgen?

Deze laatste vraag begrijp ik niet of bedoel je dat het een eindige som wordt?

Dan je tegenwerping, je denkt dat de formule wel geldt voor x=1. Dus moet ik je aan het denken zetten.
Stel x=1 geldt, maar uit:

volgt:

Dus zou links 1/0 komen te staan!?! Graag je reactie.

Dan, voor je reeksontwikkeling, die je hier voor 1/7 gevonden hebt, gebruik je bovenstaande formule.
Daarmee kan je dan ook laten zien dat: elke repetente decimale breuk geschreven kan worden als een echte breuk.

[Thomas]

Hmm, goed punt met dat 1/0, maar 1/ is toch echt 0 en 1-1 ook. Dat vind ik dan nogal vaag...

En hoe moet je dan 1/13 exact schrijven zonder een breuk te gebruiken? Dat moet toch ook lukken?

Met die laatste vraag bedoelde ik of het somteken fysiek lager geplaatst kon worden. Nu lijkt het niet alsof n=0 een subscript is.

Verder hoe kan je:


Als een nieuwe schrijven, zonder het kwadraatteken, dus echt als één somteken met een nieuwe a en b en een nieuwe f(x)?

[SafeX]

Oneindig is geen getal. In de wiskunde wordt oneindig wel toegevoegd aan de getallen, maar dan mag je alleen de volgende rekenregels gebruiken:




Maar dan moet je wel het limietbegrip kennen en kunnen gebruiken, dus:
Heb je al eens van limieten gehoord?

Ja, je bedoelde dus de lay-out van die tekst. Daar is niets aan te doen, maar vraag dat ook maar eens aan Sjoerd Job.

Laat ik nog eens 1/7 bekijken, hoe kan je jouw reeks vinden:

Probeer jij 1/13 maar weer.

Tenslotte: het kwadraat van een som is soms te herleiden, maar niet in 't algemeen.

Opm; er zijn docenten die (heel slordig) wel eens zeggen 1/oneindig=0, terwijl ze beter zouden moeten weten. Dus als je dit weer eens hoort, ga de discussie dan maar eens aan, je hebt nu 'munitie' genoeg.

[Thomas]

Ik ken limieten volgens mij wel goed genoeg.






Bedoel je dat?

ps. Hoe kan je onder de L krijgen?

EDIT: Bijna vergeten:

[SafeX]

Edit: quote weggehaald, daar bericht er direct boven staat

OK. Dan begrijp je ook mijn kritiek op:


Volgende vraag: lim van maken, zie hieronder:


1/13 ontwikkelen: zo kan het. Je moet ook gemerkt hebben dat deze ontwikkelingen niet eenduidig zijn.
Wel is de som eenduidig: 1/13=0,076923076923... repetent (het blok cijfers 076923 repeteert)

[Thomas]

Kan je dan zeggen dat je alle 1/n exact kan opschrijven zonder gebruik te maken van een breuk?

[SafeX]

Deze vraag begrijp ik niet. Geef een vb.

[Sjoerd Job]

Kan je dan zeggen dat je alle 1/n exact kan opschrijven zonder gebruik te maken van een breuk?

Ja, dat kan. Hoe zien we dit nu?

Wel, het eerste geval is dat gcd(10,n) = 1, oftewel n is oneven, en eindigt niet op een 5.

Dan is er een k zodat n | 10^k - 1. Dan geldt tevens dat 1/n = ((10^k-1)/n)/(10^k-1), met teller en noemer geheel. Merk op dat 1/(10^k -1) is
(ga na...), dus 1/n = (10^k-1)/n * (vorige som)

Stel nu dat de gcd(10,n) /=1, dit valt uiteen in een aantal situaties die jij verder mag bekijken.