Raadsel

[MDB]

Op een weiland leven (enkel) wolven en schapen. Elke wolf moet elke dag exact één schaap eten om de dag
te overleven. Een wolf die op een dag geen schaap kan eten, zal de ochtend nadien sterven. Wolven zijn
goede speurneuzen, dus als er nog minstens één schaap rondloopt, zal een wolf dit schaap uiteindelijk binnen
de dag vinden.
De wolven en schapen planten zich niet voort, ze verlaten het weiland niet en er komen nooit “vreemde”
schapen of wolven bij. Een wolf eet ook nooit meer dan één schaap per dag.

1. Er lopen 4 wolven en 13 schapen rond. Na hoeveel dagen is het weiland leeg?

2. Er lopen 17 wolven en 1 000 000 schapen rond. Na hoeveel dagen is het weiland leeg?

3. Kan je dit veralgemenen voor x wolven en y schapen?

Kan iemand mij helpen ?

[arie]

[1]
Als er 4 wolven en 4 schapen waren, dan hadden alle wolven precies 1 dag te eten, en was het weiland na 1 dag zonder schapen, en een dag later (= op dag 2) zijn alle wolven overleden.

Als er 4 wolven en 5 schapen waren, dan hadden alle wolven precies 1 dag te eten, en bleef er 1 schaap over. Dat zijn 2 dagen met ten minste 1 schaap, de laatste wolf sterft dan 1 dag later (= op dag 3).
Als er 4 wolven en 6 schapen waren, dan hadden alle wolven precies 1 dag te eten, en bleven er 2 schapen over. Dat zijn 2 dagen met ten minste 1 schaap, de laatste wolf sterft dan 1 dag later (= op dag 3).
Als er 4 wolven en 7 schapen waren, dan hadden alle wolven precies 1 dag te eten, en bleven er 3 schapen over. Dat zijn 2 dagen met ten minste 1 schaap, de laatste wolf sterft dan 1 dag later (= op dag 3).
Als er 4 wolven en 8 schapen waren, dan hadden alle wolven precies 2 dagen te eten, en was het weiland na 2 dagen zonder schapen, en een dag later (= op dag 3) zijn alle wolven overleden.

Als er 4 wolven en 9 schapen waren, dan hadden alle wolven precies 2 dagen te eten, en bleef er 1 schaap over. Dat zijn 3 dagen met ten minste 1 schaap, de laatste wolf sterft dan 1 dag later (= op dag 4).
...

Zie je hierin een overeenkomst met "deling met rest" ?
In dit geval dus met:
4 : 4 = 1 rest 0

5 : 4 = 1 rest 1
6 : 4 = 1 rest 2
7 : 4 = 1 rest 3
8 : 4 = 2 rest 0

9 : 4 = 2 rest 1


Kom je hiermee verder?

[MDB]

Ja, dank je wel! Ik snap nu de redenering, maar ik vind het moeilijk om het te veralgemenen met x en Y.

Hoe zou ik dat kunnen doen?

[arie]

Hier hetzelfde voorbeeld als hierboven, met y schapen, en x=4 wolven, nu in tabel-vorm:

Code: Selecteer alles

   y      x     y/x   rest   dagen
====================================
   4      4      1      0      2
------------------------------------
   5      4      1      1      3
   6      4      1      2      3
   7      4      1      3      3
   8      4      2      0      3
------------------------------------
   9      4      2      1      4

We zoeken het aantal dagen d als functie van x en y:
- als y WEL deelbaar is door x, dus rest = 0, dan is het aantal dagen d = (gehele deel van (y/x)) + 1,
- als y NIET deelbaar is door x, dus y/x een rest groter dan nul heeft, dan zijn er één of meer wolven (maar
NIET ALLE wolven) die een dag langer overleven, en in dit geval is d = (gehele deel van (y/x)) + 2.

Geldt dit ook voor andere waarden van x?

In de wiskunde wordt de functie "het gehele deel van getal x" wel genoteerd als \(\lfloor x \rfloor\),
zie bv. https://nl.wikipedia.org/wiki/Entier


Als je wil kan je ook een formule opstellen zonder te splitsen in WEL of NIET deelbaar:
kijk dan naar het gehele deel van (y-1) gedeeld door x:

Code: Selecteer alles

  y    (y-1)     x    (y-1)/x   rest   dagen
==============================================
  4      3       4       0       3       2
----------------------------------------------
  5      4       4       1       0       3
  6      5       4       1       1       3
  7      6       4       1       2       3
  8      7       4       1       3       3
----------------------------------------------
  9      8       4       2       0       4

Lukt dit ook?