Jos heeft een eindig aantal houten planken van exact 90 centimeter lang. Hij kan hiermee 2 dingen doen:
Een stuk plank van eender welke lengte kan in 2 perfect gelijke delen gezaagd worden.
Twee planken van eender welke lengte kunnen met hun uiteindes aan elkaar gelijmd worden (zonder te overlappen dus).
Jos zou graag een plank maken van exact 30 centimeter lang. Uiteraard kan hij slechts een eindig aantal
keer zagen en lijmen. Is dat mogelijk? Geef een bewijs.
Wie kan dit oplossen?
Re: Wie kan dit oplossen?
Je begint met houten planken met lengte \(a = \frac{a}{2^0}\) (a = 90 cm)
Bewijs dat de lengte van elk resultaat van (1) je verzagingen en (2) je plakkingen te schrijven is in de vorm \(\frac{c\cdot a}{2^n}\) voor c en n natuurlijke getallen.
Daarna wil je dat
\(\frac{c\cdot a}{2^n} = \frac{a}{3}\)
ofwel:
\(3\cdot c \cdot a = 2^n \cdot a\)
ofwel (\(a \neq 0):\)
\(3\cdot c = 2^n \)
Bestaan er een c en n waarvoor dit mogelijk is?
Bewijs dat de lengte van elk resultaat van (1) je verzagingen en (2) je plakkingen te schrijven is in de vorm \(\frac{c\cdot a}{2^n}\) voor c en n natuurlijke getallen.
Daarna wil je dat
\(\frac{c\cdot a}{2^n} = \frac{a}{3}\)
ofwel:
\(3\cdot c \cdot a = 2^n \cdot a\)
ofwel (\(a \neq 0):\)
\(3\cdot c = 2^n \)
Bestaan er een c en n waarvoor dit mogelijk is?
Re: Wie kan dit oplossen?
Ik denk het niet.
Re: Wie kan dit oplossen?
Klopt: het linker lid = 3c is deelbaar door 3, het rechter lid = \(2^n\) is niet deelbaar door 3, beide kunnen dus nooit gelijk zijn aan elkaar.
En het eerste deel van het bewijs:
(1) Verzaging van een plank met lengte \(\frac{c\cdot a}{2^n}\) levert 2 planken met lengte \(\frac{c\cdot a}{2^{n+1}}\)
(2) Plakken van een plank met lengte \(\frac{c\cdot a}{2^n}\) aan een plank met lengte \(\frac{d\cdot a}{2^m}\) levert een plank met lengte
\(\frac{c\cdot a}{2^n} + \frac{d\cdot a}{2^m} = \frac{2^m \cdot c\cdot a}{2^{n+m}} + \frac{2^n \cdot d\cdot a}{2^{n+m}}=\frac{(2^m \cdot c + 2^n \cdot d)\cdot a}{2^{n+m}}\)
Dus wat je ook (een eindig aantal keren) doet, de lengte van elke plank is altijd uit te drukken in de vorm \(\frac{c\cdot a}{2^n}\) voor constanten c en n.
En het eerste deel van het bewijs:
(1) Verzaging van een plank met lengte \(\frac{c\cdot a}{2^n}\) levert 2 planken met lengte \(\frac{c\cdot a}{2^{n+1}}\)
(2) Plakken van een plank met lengte \(\frac{c\cdot a}{2^n}\) aan een plank met lengte \(\frac{d\cdot a}{2^m}\) levert een plank met lengte
\(\frac{c\cdot a}{2^n} + \frac{d\cdot a}{2^m} = \frac{2^m \cdot c\cdot a}{2^{n+m}} + \frac{2^n \cdot d\cdot a}{2^{n+m}}=\frac{(2^m \cdot c + 2^n \cdot d)\cdot a}{2^{n+m}}\)
Dus wat je ook (een eindig aantal keren) doet, de lengte van elke plank is altijd uit te drukken in de vorm \(\frac{c\cdot a}{2^n}\) voor constanten c en n.