berekeningen in driehoek
Geplaatst: 15 jan 2024, 11:06
Ik kreeg onlangs een leuk vraagstukje doorgestuurd.
Omdat er een hoek gevraagd wordt, heb ik zelf voor het gemak Z=1 gesteld.
De oplossing is niet zo moeilijk, maar het lukt me niet om 'de cruciale gelijkheid' te bewijzen.
Dit is wat ik deed.
Met de sinus-regel kan ik de lengte van B berekenen:
\(\frac{B}{\sin(20)}=\frac{1}{\sin(100)}\)
\(B=\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\approx0.347296\)
Daarmee kan ik de lengte van A berekenen:
\(A=1-B\)
\(A=1-\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\approx0.652704\)
Met de cosinus-regel kan ik nu de lengte van C berekenen:
\(C^{2}=A^{2}+B^{2}-2AB\cos(20)\)
\(C^{2}=\left(1-\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\right)^{2}+\left(\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\right)^{2}-2\left(1-\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\right)\left(\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\right)\cos(20)\)
\(C^{2}\approx0.120615\)
\(C\approx0.347296\)
Het viel me onmiddellijk op dat C=B, maar het lukt me niet om dat te bewijzen...
Kan iemand me een duwtje in de juiste richting geven?
Omdat er een hoek gevraagd wordt, heb ik zelf voor het gemak Z=1 gesteld.
De oplossing is niet zo moeilijk, maar het lukt me niet om 'de cruciale gelijkheid' te bewijzen.
Dit is wat ik deed.
Met de sinus-regel kan ik de lengte van B berekenen:
\(\frac{B}{\sin(20)}=\frac{1}{\sin(100)}\)
\(B=\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\approx0.347296\)
Daarmee kan ik de lengte van A berekenen:
\(A=1-B\)
\(A=1-\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\approx0.652704\)
Met de cosinus-regel kan ik nu de lengte van C berekenen:
\(C^{2}=A^{2}+B^{2}-2AB\cos(20)\)
\(C^{2}=\left(1-\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\right)^{2}+\left(\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\right)^{2}-2\left(1-\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\right)\left(\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\right)\cos(20)\)
\(C^{2}\approx0.120615\)
\(C\approx0.347296\)
Het viel me onmiddellijk op dat C=B, maar het lukt me niet om dat te bewijzen...
Kan iemand me een duwtje in de juiste richting geven?