Zoek de zijde van het vierkant

[Janosik]

Bovenstaande afbeelding bevat alle informatie.
Eens je de juiste driehoeken gevonden hebt, is de oplossing vrij eenvoudig.
Veel puzzelplezier...

[arie]

Via een \(\tan(\text{atan}+\text{atan})=1\) constructie kom ik uit op \(17+2\sqrt{39}\)
Leuk probleem!

[Janosik]

Hoi arie,
Jouw antwoord is helemaal juist

Mijn oplossing ziet er zo uit:



\(A^{2}+B^{2}=C^{2}+D^{2}\)
waarbij
\(A=Z-L_2+R_1\)
\(B=Z-L_1+R_2\)
\(C=R_2-R_1\)
\(D_1=Z-L_1\)
\(D_2=Z-L_2\)
\(D=D_1+D_2=2Z-L_1-L_2\)

Het vinden van D vond ik best wel pittig...

Alles invullen en uitwerken geeft een kwadratische vergelijking:
\(Z^{2}-34Z+133=0\)
met als oplossingen
\(Z_1=17+2\sqrt{39}\approx29.489996\)
en
\(Z_2=17-2\sqrt{39}\approx4.510004\)

\(Z_2\) is kleiner dan elk van de gegeven parameters en is dus onmogelijk.

De juiste oplossing is dus: \(Z=17+2\sqrt{39}\approx29.489996\)

Nog een merkwaardige opmerking:
\(Z_1+Z_2=34=L_1+L_2+R_1+R_2\)

[arie]

Ik heb de route via de rode en de blauwe vlieger genomen:

\(2\alpha + 2\beta = 90^\circ\)

\(\alpha+\beta = 45^\circ\)

\(\tan (\alpha+\beta) = 1\)

\(\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}=1\)

\(\tan(\alpha)+\tan(\beta)=1-\tan(\alpha)\tan(\beta)\)

\(\frac{7}{z-6}+\frac{10}{z-11} = 1 - \frac{7}{z-6}\cdot \frac{10}{z-11}\)

\(7(z-11) + 10(z-6) = (z-6)(z-11)-70\)

en via de abc-formule naar de oplossing.

[Janosik]

Zeer elegante oplossing

[arie]

Nog een merkwaardige opmerking:
\(Z_1+Z_2=34=L_1+L_2+R_1+R_2\)

Klopt:

\(7(z-11) + 10(z-6) = (z-6)(z-11)-70\)

uitgedrukt in de oorspronkelijke variabelen:

\(R_1(z-L_2) + R_2(z-L_1) = (z-L_1)(z-L_2)-R_1R_2\)

levert

\(z^2 - (L_1+L_2+R_1+R_2)z + (L_1L_2+ R_1L_2+ R_2L_1- R_1R_2) = 0\)

En in elke tweedegraadsvergelijking \(az^2+bz+c=0\) geldt:

\(z_1+z_2 = \frac{-b}{a}\)

\(z_1\cdot z_2 = \frac{c}{a}\)