Zoek de zijde van het vierkant
Zoek de zijde van het vierkant
Bovenstaande afbeelding bevat alle informatie.
Eens je de juiste driehoeken gevonden hebt, is de oplossing vrij eenvoudig.
Veel puzzelplezier...
Re: Zoek de zijde van het vierkant
Via een \(\tan(\text{atan}+\text{atan})=1\) constructie kom ik uit op \(17+2\sqrt{39}\)
Leuk probleem!
Leuk probleem!
Re: Zoek de zijde van het vierkant
Hoi arie,
Jouw antwoord is helemaal juist
Mijn oplossing ziet er zo uit:
\(A^{2}+B^{2}=C^{2}+D^{2}\)
waarbij
\(A=Z-L_2+R_1\)
\(B=Z-L_1+R_2\)
\(C=R_2-R_1\)
\(D_1=Z-L_1\)
\(D_2=Z-L_2\)
\(D=D_1+D_2=2Z-L_1-L_2\)
Het vinden van D vond ik best wel pittig...
Alles invullen en uitwerken geeft een kwadratische vergelijking:
\(Z^{2}-34Z+133=0\)
met als oplossingen
\(Z_1=17+2\sqrt{39}\approx29.489996\)
en
\(Z_2=17-2\sqrt{39}\approx4.510004\)
\(Z_2\) is kleiner dan elk van de gegeven parameters en is dus onmogelijk.
De juiste oplossing is dus: \(Z=17+2\sqrt{39}\approx29.489996\)
Nog een merkwaardige opmerking:
\(Z_1+Z_2=34=L_1+L_2+R_1+R_2\)
Jouw antwoord is helemaal juist
Mijn oplossing ziet er zo uit:
\(A^{2}+B^{2}=C^{2}+D^{2}\)
waarbij
\(A=Z-L_2+R_1\)
\(B=Z-L_1+R_2\)
\(C=R_2-R_1\)
\(D_1=Z-L_1\)
\(D_2=Z-L_2\)
\(D=D_1+D_2=2Z-L_1-L_2\)
Het vinden van D vond ik best wel pittig...
Alles invullen en uitwerken geeft een kwadratische vergelijking:
\(Z^{2}-34Z+133=0\)
met als oplossingen
\(Z_1=17+2\sqrt{39}\approx29.489996\)
en
\(Z_2=17-2\sqrt{39}\approx4.510004\)
\(Z_2\) is kleiner dan elk van de gegeven parameters en is dus onmogelijk.
De juiste oplossing is dus: \(Z=17+2\sqrt{39}\approx29.489996\)
Nog een merkwaardige opmerking:
\(Z_1+Z_2=34=L_1+L_2+R_1+R_2\)
Re: Zoek de zijde van het vierkant
Ik heb de route via de rode en de blauwe vlieger genomen:
\(2\alpha + 2\beta = 90^\circ\)
\(\alpha+\beta = 45^\circ\)
\(\tan (\alpha+\beta) = 1\)
\(\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}=1\)
\(\tan(\alpha)+\tan(\beta)=1-\tan(\alpha)\tan(\beta)\)
\(\frac{7}{z-6}+\frac{10}{z-11} = 1 - \frac{7}{z-6}\cdot \frac{10}{z-11}\)
\(7(z-11) + 10(z-6) = (z-6)(z-11)-70\)
en via de abc-formule naar de oplossing.
Re: Zoek de zijde van het vierkant
Zeer elegante oplossing
Re: Zoek de zijde van het vierkant
Klopt:
\(7(z-11) + 10(z-6) = (z-6)(z-11)-70\)
uitgedrukt in de oorspronkelijke variabelen:
\(R_1(z-L_2) + R_2(z-L_1) = (z-L_1)(z-L_2)-R_1R_2\)
levert
\(z^2 - (L_1+L_2+R_1+R_2)z + (L_1L_2+ R_1L_2+ R_2L_1- R_1R_2) = 0\)
En in elke tweedegraadsvergelijking \(az^2+bz+c=0\) geldt:
\(z_1+z_2 = \frac{-b}{a}\)
\(z_1\cdot z_2 = \frac{c}{a}\)