veelterm

[donald]

Bepaal alle reële veeltermen P van hoogstens graad 22 waarvoor
k*P(k+1)-(k+1)*P(k)=k²+k+1
voor alle k element van {1,2,3,4....21,22}

Hey, kan iemand me misschien helpen met deze vraag?

[arie]

Het hangt er van af waar je mee bezig bent en welke technieken en stellingen je kan gebruiken.
Hier een illustratie van wat er in deze opgave gebeurt:

Definieer een veelterm van graad ≤ n:
\(\displaystyle P_n(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i = a_0 + a_1x +a_2x^2 +... + a_nx^n\)
dan is
\(\displaystyle P_n(k) = \sum_{i=0}^n a_ik^i = a_0 + a_1k +a_2k^2 +... + a_nk^n\)
en
\(\displaystyle P_n(k+1) = \sum_{i=0}^n a_i(k+1)^i = \sum_{i=0}^n \left[a_i\sum_{j=0}^i\binom{i}{ j}k^j\right]\)

Voorbeeld: n=4:

\(P_n(k+1) = \)
\(a_0\cdot \left[ 1 \right]\)
\(+\)
\(a_1\cdot\left[ \binom{1}{0} k^0 + \binom{1}{1} k^1 \right]\)
\(+\)
\(a_2\cdot\left[ \binom{2}{0} k^0 + \binom{2}{1} k^1 + \binom{2}{2} k^2 \right]\)
\(+\)
\(a_3\cdot\left[ \binom{3}{0} k^0 + \binom{3}{1} k^1 + \binom{3}{2} k^2 + \binom{3}{3} k^3 \right]\)
\(+\)
\(a_4\cdot\left[ \binom{4}{0} k^0 + \binom{4}{1} k^1 + \binom{4}{2} k^2 + \binom{4}{3} k^3 + \binom{4}{4} k^4 \right]\)

dus

\(P_n(k+1) - P_n(k) = \)
\(0\)
\(+\)
\(a_1\cdot\left[ \binom{1}{0} k^0 \right]\)
\(+\)
\(a_2\cdot\left[ \binom{2}{0} k^0 + \binom{2}{1} k^1 \right]\)
\(+\)
\(a_3\cdot\left[ \binom{3}{0} k^0 + \binom{3}{1} k^1 + \binom{3}{2} k^2\right]\)
\(+\)
\(a_4\cdot\left[ \binom{4}{0} k^0 + \binom{4}{1} k^1 + \binom{4}{2} k^2 + \binom{4}{3} k^3 \right]\)

waardoor

\(k \cdot \left( P_n(k+1) - P_n(k) \right) = \)
\(0\)
\(+\)
\(a_1\cdot\left[ \binom{1}{0} k^1 \right]\)
\(+\)
\(a_2\cdot\left[ \binom{2}{0} k^1 + \binom{2}{1} k^2 \right]\)
\(+\)
\(a_3\cdot\left[ \binom{3}{0} k^1 + \binom{3}{1} k^2 + \binom{3}{2} k^3\right]\)
\(+\)
\(a_4\cdot\left[ \binom{4}{0} k^1 + \binom{4}{1} k^2 + \binom{4}{2} k^3 + \binom{4}{3} k^4 \right]\)

Trek hier \(P_n(k)\) van af om het linker lid van de opgave te krijgen:

\(k \cdot \left( P_n(k+1) - P_n(k) \right) - P_n(k) = \)
\(0 - a_0\)
\(+\)
\(a_1\cdot\left[ \binom{1}{0} k^1 \right] - a_1k^1\)
\(+\)
\(a_2\cdot\left[ \binom{2}{0} k^1 + \binom{2}{1} k^2 \right] - a_2k^2\)
\(+\)
\(a_3\cdot\left[ \binom{3}{0} k^1 + \binom{3}{1} k^2 + \binom{3}{2} k^3\right] - a_3k^3\)
\(+\)
\(a_4\cdot\left[ \binom{4}{0} k^1 + \binom{4}{1} k^2 + \binom{4}{2} k^3 + \binom{4}{3} k^4 \right] - a_4k^4\)

\(=\)
\( - a_0\)
\(+\)
\(a_1\cdot\left[ k^1 \right] - a_1k^1\)
\(+\)
\(a_2\cdot\left[ k^1 + 2 k^2 \right] - a_2k^2\)
\(+\)
\(a_3\cdot\left[ k^1 + 3 k^2 + 3 k^3\right] - a_3k^3\)
\(+\)
\(a_4\cdot\left[ k^1 + 4 k^2 + 6 k^3 + 4 k^4 \right] - a_4k^4\)

\(=\)
\( - a_0\)
\(+\)
\(a_2 k^1 + 2a_2 k^2 - a_2k^2\)
\(+\)
\(a_3 k^1 + 3a_3 k^2 + 3a_3 k^3 - a_3k^3\)
\(+\)
\(a_4 k^1 + 4a_4 k^2 + 6a_4 k^3 + 4 a_4k^4 - a_4k^4\)

\(=\)
\( - a_0\)
\(+\)
\(a_2 k^1 + a_2 k^2 \)
\(+\)
\(a_3 k^1 + 3a_3 k^2 + 2a_3 k^3\)
\(+\)
\(a_4 k^1 + 4a_4 k^2 + 6a_4 k^3 + 3 a_4k^4 \)

\(= -a_0 + (a_2+a_3+a_4) k^1 + (a_2+3a_3+4a_4) k^2 + (2a_3+6a_4) k^3 + 3 a_4k^4 \)

en dit moet voor alle gegeven waarden van k gelijk zijn aan (de veelterm in k in) het rechter lid in de opgave:

\(1 + k + k^2\)

Kan je hiermee de voorwaarden aan \(a_0\) t/m \(a_4\) (= de mogelijke vormen van \(P_n\)) vinden?
En dit vervolgens veralgemeniseren naar hogere waarden van n?

[donald]

ik was het zelf helemaal op een andere manier aan het zoeken, maar zal eens kijken of ik er zo kan komen