Wie kan mij helpen met het volgende vraagstuk voor een geluidsproject.
Het gaat over de positiebepaling van een microfoon binnen een vierkant van 50 bij 50 meter. Dit wil ik doen door het meten van de reistijd van het geluid van ultrasone piepjes afkomstig uit speakers op de vier hoeken van het vierkant.
Mijn gedachte is als volgt:
Als ik vanuit hoekpunt A een puls (piep) geef, vervolgens exact 300 ms later een puls uit hoek B, weer 300 ms later een puls uit hoek C en tot slot 300 ms later een pus uit hoek D; kan ik dan wanneer ik de door de microfoon opgevangen eerste puls (A) als T=0 beschouw op basis van de drie gemeten tijdsduren dat het geluid van B C en D binnenkomen ten opzichte van T=0 de positie van de microfoon binnen het vierkant bepalen?
Kan het? Volgens mij wel.....Maar het belangrijkste, hoe berekenen ik dit zodat ik deze plaatsbepaling door software kan laten doen?
Oplossingen zijn zeer welkom!
Positie-bepaling aan hand van sonar-piepjes
-
horseymanus
- Nieuw lid
- Berichten: 8
- Lid geworden op: 18 mar 2009, 22:01
Re: Positie-bepaling aan hand van sonar-piepjes
Mount_lu,
Ik heb net je probleembeschrijving gelezen.
Ik ben bereid je hiermee te helpen, maar gezien de datum van je post vermoedt ik dat het niet meer
nodig is.
Stuur een mailtje naar math_support@hotmail.com als het probleem nog wel speelt
Ik heb net je probleembeschrijving gelezen.
Ik ben bereid je hiermee te helpen, maar gezien de datum van je post vermoedt ik dat het niet meer
nodig is.
Stuur een mailtje naar math_support@hotmail.com als het probleem nog wel speelt
-
horseymanus
- Nieuw lid
- Berichten: 8
- Lid geworden op: 18 mar 2009, 22:01
Re: Positie-bepaling aan hand van sonar-piepjes
De tijdsduur die een puls nodig heeft om de microfoon te bereiken is een maat voor de afstand van de bron van de puls naar die microfoon.
Indien we de positie van de microfoon aanduiden in Cartetische coordinaten
)
,
punt A als
)
,
het tijdsverschil tussen emissie en ontvangst van de puls als
, en
de geluidssnelheid als V, dan volgt:
^2 + (y-y_A)^2 + (z-z_A)^2 = (V * T_A)^2)
Vergelijkbare vergelijkingen zijn op te stellen voor de pulsen vanuit de punten B, C en D.
Aangezien deze vergelijkingen drie onbekenden bevatten lijkt het alsof er slechts drie vergelijkingen
benodigd zijn voor het bepalen van de oplossing.
Echter, dit is geen linear stelsel vergelijkingen. Als er al een oplossing bestaat zie ik niet hoe die te bepalen is.
Dit stelsel vergelijkingen is echter om te schrijven naar een lineair stelsel vergelijkingen.
Schrijf alle kwadraten uit, en trek de vergelijkingen met betrekking tot verschillende pulsen van elkaar af.
De kwadratische termen in de vergelijkingen zullen dan tegen elkaar wegvallen:
^2 - (x - x_B)^2 =2 * x * (x_B - x_A) + (x_A^2 - x_B^2))
De resulterende vergelijking is dan als volgt:
 + 2*y*(y_B - y_A) + 2*z*(z_B - z_A) = (V^2 * T_A^2 - (x_A^2 + y_A^2 + z_A^2)))
 ))
Met behulp van vier pulsen is nu een stelsel van drie lineaire vergelijkingen af te leiden, dat eenvoudig op te lossen is.
PS 1: Afhankelijk van de nauwkeurigheid die je wenst kan de geluidssnelheid V mogelijk niet als constante beschouwd worden. In dat geval dien je een kalibratie uit te voeren. Dat betekent dat je de tijdsduur opmeet die een puls nodig heeft een bekende afstand af te leggen, en daaruit de geluidssnelheid bepaalt.
PS 2: De microfoon zal behalve de vier pulsen ook allerlei weerkaatsingen en interferentiepatronen opvangen. Heb je enig idee hoe je die effecten kunt onderscheiden van de directe pulsen?
Indien we de positie van de microfoon aanduiden in Cartetische coordinaten
punt A als
het tijdsverschil tussen emissie en ontvangst van de puls als
de geluidssnelheid als V, dan volgt:
Vergelijkbare vergelijkingen zijn op te stellen voor de pulsen vanuit de punten B, C en D.
Aangezien deze vergelijkingen drie onbekenden bevatten lijkt het alsof er slechts drie vergelijkingen
benodigd zijn voor het bepalen van de oplossing.
Echter, dit is geen linear stelsel vergelijkingen. Als er al een oplossing bestaat zie ik niet hoe die te bepalen is.
Dit stelsel vergelijkingen is echter om te schrijven naar een lineair stelsel vergelijkingen.
Schrijf alle kwadraten uit, en trek de vergelijkingen met betrekking tot verschillende pulsen van elkaar af.
De kwadratische termen in de vergelijkingen zullen dan tegen elkaar wegvallen:
De resulterende vergelijking is dan als volgt:
Met behulp van vier pulsen is nu een stelsel van drie lineaire vergelijkingen af te leiden, dat eenvoudig op te lossen is.
PS 1: Afhankelijk van de nauwkeurigheid die je wenst kan de geluidssnelheid V mogelijk niet als constante beschouwd worden. In dat geval dien je een kalibratie uit te voeren. Dat betekent dat je de tijdsduur opmeet die een puls nodig heeft een bekende afstand af te leggen, en daaruit de geluidssnelheid bepaalt.
PS 2: De microfoon zal behalve de vier pulsen ook allerlei weerkaatsingen en interferentiepatronen opvangen. Heb je enig idee hoe je die effecten kunt onderscheiden van de directe pulsen?
Re: Positie-bepaling aan hand van sonar-piepjes
Hallo Horseymanus,
Bedankt voor je uitgebreide antwoord.
Ik ben je route nu aan het doorkauwen en kan het geloof ik redelijk volgen.
Maar toch loop ik weer vast. Het probleem zit hem in het referentiemoment van de tijdmeting: T = 0.
(uitgaande van de optimale situatie dat er geen reflecties zijn...)
Het moment wanneer ik tijd kan gaan vastleggen is vanaf het ontvangstmoment van de allereerste piep.
In mijn geval is de eerste piep de piep die uit hoek A komt. T(a) is dus onbekend, want het vertrekmoment van de eerste piep (uit hoekpunt A)is onbekend. Het moment van aankomst van deze piep wordt echter mijn T = 0.
Vandaar dat ik een vertraging van bijv 200 ms tussen elke piep uit de hoekpunten dacht in te bouwen om zeker te weten dat piep A als eerste aankomt dan B, dan C, dan D.
De situatie is namelijk dat de microfoon waarvan ik de plaats van wil bepalen aan een laptop hangt die draadloos door de ruimte wordt verplaatst. Ik heb dus geen T = 0 als referentie, tenzij ik dit signaal T=0 als radiosignaal (sneller dan geluid) eerst zou zenden maar dat zou betekenen een extra radio-zender en ontvanger.
Het lukt me in ieder geval nog niet om uitgaande van jouw vergelijking relatieve tijden te hanteren. T(b) is namelijk voor mij de verstreken tijd tussen de aankomst van de piep uit hoek A en de piep uit hoek B, hetzelde geldt voor T(c) etc...
Zie ik iets over het hoofd.
Kan de aanpak simpeler...
Ik blijf zeer benieuwd of het mogelijk is.
en wat betreft je PS2: de reflecties etc. Dat is zeker een struikelblok. De praktische uitvoering heeft zeker nog lastige aspecten.
Bedankt voor je uitgebreide antwoord.
Ik ben je route nu aan het doorkauwen en kan het geloof ik redelijk volgen.
Maar toch loop ik weer vast. Het probleem zit hem in het referentiemoment van de tijdmeting: T = 0.
(uitgaande van de optimale situatie dat er geen reflecties zijn...)
Het moment wanneer ik tijd kan gaan vastleggen is vanaf het ontvangstmoment van de allereerste piep.
In mijn geval is de eerste piep de piep die uit hoek A komt. T(a) is dus onbekend, want het vertrekmoment van de eerste piep (uit hoekpunt A)is onbekend. Het moment van aankomst van deze piep wordt echter mijn T = 0.
Vandaar dat ik een vertraging van bijv 200 ms tussen elke piep uit de hoekpunten dacht in te bouwen om zeker te weten dat piep A als eerste aankomt dan B, dan C, dan D.
De situatie is namelijk dat de microfoon waarvan ik de plaats van wil bepalen aan een laptop hangt die draadloos door de ruimte wordt verplaatst. Ik heb dus geen T = 0 als referentie, tenzij ik dit signaal T=0 als radiosignaal (sneller dan geluid) eerst zou zenden maar dat zou betekenen een extra radio-zender en ontvanger.
Het lukt me in ieder geval nog niet om uitgaande van jouw vergelijking relatieve tijden te hanteren. T(b) is namelijk voor mij de verstreken tijd tussen de aankomst van de piep uit hoek A en de piep uit hoek B, hetzelde geldt voor T(c) etc...
Zie ik iets over het hoofd.
Kan de aanpak simpeler...
Ik blijf zeer benieuwd of het mogelijk is.
en wat betreft je PS2: de reflecties etc. Dat is zeker een struikelblok. De praktische uitvoering heeft zeker nog lastige aspecten.
-
horseymanus
- Nieuw lid
- Berichten: 8
- Lid geworden op: 18 mar 2009, 22:01
Re: Positie-bepaling aan hand van sonar-piepjes
Okee, ik begrijp dat het tijdstip T=0 gedefinieerd wordt als ontvangst van de eerste puls.
Daardoor weet je niet wat het tijdsverschil is tussen emissie en ontvangst van een puls
uit punt A.
Wat ik niet direct heb ingezien is dat met die voorwaarde het stelsel wiskundige
vergelijkingen een stuk complexer worden. Hierbij een nieuwe poging.
Voor een relatief makkelijke notatie hernoem ik de punten A, B, C, D tot
De afstand van de microfoon naar punt
noem ik 
:
^2 + (y - y_i)^2 + (z - z_i)^2})
Er van uitgaande dat elke 0,2 seconden een puls wordt verstuurd,
komt die puls (vanuit punt) volgens jouw tijdmeting aan op tijdstip
 + \frac{d_i - d_1}{V})
Ter controle kun je verifieren dat
.
In die formule is de afstand de onbekende.
Omschrijven van de formule levert op:
))
Om die formule enigzins werkbaar te maken, is het zinvol het wortel-teken in
weg te werken, door de formule te kwadrateren.
Dat levert op:
)^2 + 2 . d_1 . V . (T_i - 0.2 . (i - 1)))
In de term links van het =-teken vallen nu alle kwadratische termen in x, y en z tegen elkaar weg.
Links van het =-teken staat dus een lineaire term.
Rechts van het =-teken staat helaas nog altijd de term
.
Echter, die is ook weg te werken, door de bovenstaande formule te herschrijven tot:
) } - V . (T_i - 0,2 . (i - 1)))
Door deze formule (wederom) te kwadrateren zijn we het vervelende wortel-teken kwijt.
We zitten dan echter opgescheept met een stelsel van drie kwadratische vergelijkingen
(namelijk voor i = 2,3,4).
Echter, bedenk dat de term rechts van het =-teken nog altijd een lineaire term is.
Omdat de term links van het =-teken onafhankelijk is van de index i, kunnen we twee van de drie
kwadratische vergelijkingen herleiden naar lineaire vergelijkingen van de vorm:
) } - V . (T_i - 0,2 . (i - 1)) =)
) } - V . (T_j - 0,2 . (j - 1)))
Omdat dit lineaire vergelijkingen zijn is het mogelijk om de onbekende coordinaten
y en z uit te drukken als lineaire functie van x:
)
)
Wanneer we die termen substitueren in een van de kwadratische vergelijkingen, resteerd een
enkele kwadratische vergelijking, met parameter x.
Kwadraatafsplitsen, of de wortelformule, levert de coordinaat x op, en daarmee de coordinaten y en z.
PS: Het uitwerken hiervan is niet eenvoudig. Ik heb dit niet uitgevoerd. Maar volgens mij heb ik dit keer
niets over het hoofd gezien.
Daardoor weet je niet wat het tijdsverschil is tussen emissie en ontvangst van een puls
uit punt A.
Wat ik niet direct heb ingezien is dat met die voorwaarde het stelsel wiskundige
vergelijkingen een stuk complexer worden. Hierbij een nieuwe poging.
Voor een relatief makkelijke notatie hernoem ik de punten A, B, C, D tot
De afstand van de microfoon naar punt
Er van uitgaande dat elke 0,2 seconden een puls wordt verstuurd,
komt die puls (vanuit punt
Ter controle kun je verifieren dat
In die formule is de afstand
Omschrijven van de formule levert op:
Om die formule enigzins werkbaar te maken, is het zinvol het wortel-teken in
weg te werken, door de formule te kwadrateren.
Dat levert op:
In de term links van het =-teken vallen nu alle kwadratische termen in x, y en z tegen elkaar weg.
Links van het =-teken staat dus een lineaire term.
Rechts van het =-teken staat helaas nog altijd de term
Echter, die is ook weg te werken, door de bovenstaande formule te herschrijven tot:
Door deze formule (wederom) te kwadrateren zijn we het vervelende wortel-teken kwijt.
We zitten dan echter opgescheept met een stelsel van drie kwadratische vergelijkingen
(namelijk voor i = 2,3,4).
Echter, bedenk dat de term rechts van het =-teken nog altijd een lineaire term is.
Omdat de term links van het =-teken onafhankelijk is van de index i, kunnen we twee van de drie
kwadratische vergelijkingen herleiden naar lineaire vergelijkingen van de vorm:
Omdat dit lineaire vergelijkingen zijn is het mogelijk om de onbekende coordinaten
y en z uit te drukken als lineaire functie van x:
Wanneer we die termen substitueren in een van de kwadratische vergelijkingen, resteerd een
enkele kwadratische vergelijking, met parameter x.
Kwadraatafsplitsen, of de wortelformule, levert de coordinaat x op, en daarmee de coordinaten y en z.
PS: Het uitwerken hiervan is niet eenvoudig. Ik heb dit niet uitgevoerd. Maar volgens mij heb ik dit keer
niets over het hoofd gezien.
Re: Positie-bepaling aan hand van sonar-piepjes
Bedankt Horseymanus en alle meedenkers,
Behalve dat het wiskundig een complex verhaal aan het worden is heb ik ook besloten het niet in de praktijk uit te gaan voeren. Ik vrees dat met reflecties van de sonar etc het een te moeilijk verhaal gaat worden.
Gaandeweg wordt me dat duidelijk.
Ik wil het nu anders aanpakken, en dat levert me een nieuw wiskundig vraagstuk op. Zie daarvoor mijn nieuwe post "Plaats van punt in rechthoek uitrekenen".
Pieter
Behalve dat het wiskundig een complex verhaal aan het worden is heb ik ook besloten het niet in de praktijk uit te gaan voeren. Ik vrees dat met reflecties van de sonar etc het een te moeilijk verhaal gaat worden.
Gaandeweg wordt me dat duidelijk.
Ik wil het nu anders aanpakken, en dat levert me een nieuw wiskundig vraagstuk op. Zie daarvoor mijn nieuwe post "Plaats van punt in rechthoek uitrekenen".
Pieter