Er is bij ons veel oneindigheid over oplossing van de volgende vraag:
Je gooit met een emmer met dobbelstenen. Elke 6 die gegooid wordt haal je uit de emmer en je gooit de rest van de dobbelstenen opnieuw.
Hoe vaak moet je, statistisch gezien, met de emmer gooien om allemaal 6-en te krijgen?
het yatzee mysterie
Re: het yatzee mysterie
Noem
d = aantal dobbelstenen
z = aantal zessen
Dan is de kans om in 1 worp met d dobbelstenen z zessen te gooien gelijk aan
^z*\left(\frac{5}{6}\right)^{d-z})
ofwel
Noem vervolgens
Ni = het aantal worpen nodig om met i dobbelstenen allemaal zessen te verzamelen,
dan kunnen we voor d dobbelstenen schrijven
)
Hier staat dat Nd gelijk is aan de som van:
voor alle mogelijke uitkomsten van een worp:
(de kans op de uitkomst) * (1 + het aantal keren dat we nodig hebben voor de overgebleven dobbelstenen)
Voorbeeld:
 + {2 \choose 1}*\frac{5^1}{6^2}*(1+N_1) + {2 \choose 2}*\frac{5^0}{6^2}*(1+N_0))
 + 2*\frac{5}{36}*(1+N_1) + \frac{1}{36}*(1+N_0))
We zien hier het aantal keren dat we 2 dobbelstenen moeten gooien om zessen te verzamalen.
Na 1 worp vinden we:
- in 25/36 gevallen geen zes, we hebben dan nog N2 worpen nodig
- in 2 * 5/36 gevallen precies 1 zes: we hebben dan nog N1 worpen nodig om de andere ook op 6 te krijgen
- in 1/36 van de gevallen gooien we direct 2 zessen, we hebben dan nog N0 = 0 (=nul) worpen nodig.
De som van deze producten is precies gelijk aan N2.
We werken het resultaat nu wat verder uit:
*N_d = 6^d + \sum_{z=1}^d {d \choose z}*5^{d-z}*N_{d-z})
en omdat N0 = 0:
*N_d = 6^d + \sum_{z=1}^{d-1} {d \choose z}*5^{d-z}*N_{d-z})
En hiermee kunnen we alle waarden gaan bepalen:
*N_1 = 6)
*N_2 = 6^2 + {2 \choose 1}*5*N_1)
*N_3 = 6^3 + {3 \choose 1}*5^2*N_2 + {3 \choose 2}*5^1*N_1)
*N_4 = 6^4 + {4 \choose 1}*5^3*N_3 + {4 \choose 2}*5^2*N_2 + {4 \choose 3}*5^1*N_1)
*N_5 = 6^5 + {5 \choose 1}*5^4*N_4 + {5 \choose 2}*5^3*N_3 + {5 \choose 3}*5^2*N_2 + {5 \choose 4}*5^1*N_1)
Om met de 5 dobbelstenen van Yatzee allemaal zessen te verzamelen hebben we gemiddeld dus
13.02366151 worpen nodig.
d = aantal dobbelstenen
z = aantal zessen
Dan is de kans om in 1 worp met d dobbelstenen z zessen te gooien gelijk aan
ofwel
Noem vervolgens
Ni = het aantal worpen nodig om met i dobbelstenen allemaal zessen te verzamelen,
dan kunnen we voor d dobbelstenen schrijven
Hier staat dat Nd gelijk is aan de som van:
voor alle mogelijke uitkomsten van een worp:
(de kans op de uitkomst) * (1 + het aantal keren dat we nodig hebben voor de overgebleven dobbelstenen)
Voorbeeld:
We zien hier het aantal keren dat we 2 dobbelstenen moeten gooien om zessen te verzamalen.
Na 1 worp vinden we:
- in 25/36 gevallen geen zes, we hebben dan nog N2 worpen nodig
- in 2 * 5/36 gevallen precies 1 zes: we hebben dan nog N1 worpen nodig om de andere ook op 6 te krijgen
- in 1/36 van de gevallen gooien we direct 2 zessen, we hebben dan nog N0 = 0 (=nul) worpen nodig.
De som van deze producten is precies gelijk aan N2.
We werken het resultaat nu wat verder uit:
en omdat N0 = 0:
En hiermee kunnen we alle waarden gaan bepalen:
Om met de 5 dobbelstenen van Yatzee allemaal zessen te verzamelen hebben we gemiddeld dus
13.02366151 worpen nodig.
-
dobbelsteen
- Nieuw lid
- Berichten: 2
- Lid geworden op: 14 jan 2009, 09:28
Re: het yatzee mysterie
Mijn wiskunde is niet zo heel goed, (vandaar mijn toevlucht tot dit forum..) maar is het antwoord niet gewoon zo simpel als dit:
Met 1 dobbelsteen heb je statistisch (of gemiddeld ) 6 keer nodig om 6 te gooien. Als je nu met meerdere dobbelstenen zou gooien, kun je deze ook als aparte dobbelstenen beschouwen die je na elkaar gooit. Omdat het allemaal losse dobbelstenen zijn heb je dus gemiddeld ook 6 gooien nodig om allemaal zessen te verzamelen. Dit gaat ook op voor een emmer dobbelstenen. Het antwoord is dus 6.
Met 1 dobbelsteen heb je statistisch (of gemiddeld ) 6 keer nodig om 6 te gooien. Als je nu met meerdere dobbelstenen zou gooien, kun je deze ook als aparte dobbelstenen beschouwen die je na elkaar gooit. Omdat het allemaal losse dobbelstenen zijn heb je dus gemiddeld ook 6 gooien nodig om allemaal zessen te verzamelen. Dit gaat ook op voor een emmer dobbelstenen. Het antwoord is dus 6.
Re: het yatzee mysterie
Per dobbelsteen heb je gemiddeld inderdaad 6 worpen nodig om hem op 6 te krijgen.
Dit geldt voor elke individuele dobbelsteen in de emmer.
Soms heb je minder worpen nodig, soms meer, maar gemiddeld per dobbelsteen 6 worpen.
We kijken hier echter niet naar het aantal worpen per dobbelsteen, maar naar het gemiddeld aantal keren dat je met de emmer moet gooien om alle dobbelstenen op 6 te krijgen.
Dit aantal wordt bepaald door de dobbelsteen die als laatste op 6 neerkomt.
Hoe meer dobbelstenen je hebt, hoe meer worpen je gemiddeld nodig zult hebben om ook de laatste op 6 te krijgen.
Voor 5 dobbelstenen bleken we gemiddeld ongeveer 13 worpen nodig te hebben.
Je kan dit probleem mogelijk wat gemakkelijker voorstellen door het volgende experiment:
Neem een emmer met 8 euro munten waarmee je kop of munt gooit en alle koppen verzamelt, vergelijkbaar met de zessen van Yatzee.
Per munt moet je gemiddeld 2 keer gooien om hem op kop te krijgen.
Als je met de emmer met 8 munten gooit, zal je gemiddeld na 1 worp 4 koppen hebben, na 2 worpen nog 2 erbij, dus 6 koppen en na 3 worpen 1 van de 2 overgebleven erbij = 7 koppen.
Het is dus niet zo dat je met de hele emmer gemiddeld 2 keer moet gooien om alle munten op kop te krijgen, maar duidelijk meer dan 2 keer.
(indien je nog niet overtuigd bent moet je dit experiment maar eens daadwerkelijk 20 keer uitvoeren, steeds het aantal worpen met de emmer noteren, en daarna kijken wat het gemiddelde is
)
Dit geldt voor elke individuele dobbelsteen in de emmer.
Soms heb je minder worpen nodig, soms meer, maar gemiddeld per dobbelsteen 6 worpen.
We kijken hier echter niet naar het aantal worpen per dobbelsteen, maar naar het gemiddeld aantal keren dat je met de emmer moet gooien om alle dobbelstenen op 6 te krijgen.
Dit aantal wordt bepaald door de dobbelsteen die als laatste op 6 neerkomt.
Hoe meer dobbelstenen je hebt, hoe meer worpen je gemiddeld nodig zult hebben om ook de laatste op 6 te krijgen.
Voor 5 dobbelstenen bleken we gemiddeld ongeveer 13 worpen nodig te hebben.
Je kan dit probleem mogelijk wat gemakkelijker voorstellen door het volgende experiment:
Neem een emmer met 8 euro munten waarmee je kop of munt gooit en alle koppen verzamelt, vergelijkbaar met de zessen van Yatzee.
Per munt moet je gemiddeld 2 keer gooien om hem op kop te krijgen.
Als je met de emmer met 8 munten gooit, zal je gemiddeld na 1 worp 4 koppen hebben, na 2 worpen nog 2 erbij, dus 6 koppen en na 3 worpen 1 van de 2 overgebleven erbij = 7 koppen.
Het is dus niet zo dat je met de hele emmer gemiddeld 2 keer moet gooien om alle munten op kop te krijgen, maar duidelijk meer dan 2 keer.
(indien je nog niet overtuigd bent moet je dit experiment maar eens daadwerkelijk 20 keer uitvoeren, steeds het aantal worpen met de emmer noteren, en daarna kijken wat het gemiddelde is
)