Schaap in de wei

[Dries]

Ik probeerde laatst volgend raadsel op te lossen:

Een boer heeft een perfect cirkelvormige wei met net op de rand van die wei een paaltje.
Door met een koord een schaap aan het paaltje te hangen zou hij net de helft van zijn wei willen laten afeten door het schaap.
Hoe lang moet de boer zijn koord maken?

Je kan dit oplossen met integralen maar ik probeerde het meetkundig.

Indien je dit probleem uittekent zal je zien dat het principe vrij eenvoudig is.

Op een bepaald moment kom ik aan volgende vergelijking (indien de straal van de boer zijn wei 1 is en de lengte van de koord R):



Heeft iemand enig idee hoe ik dit moet uitwerken?

[arie]

Numeriek benaderen.
Ik kom uit op R~=1.15872847, maar dit is geen oplossing van jouw vergelijking...
[NOOT: uit jouw vergelijking haal ik R~=1.03483076 (naast een negatieve oplossing ~= -0.979), maar deze kan niet kloppen: als je een plaatje maakt zie je het al ]

Het weiland is de eenheidscirkel (middelpunt oorsprong O, straal 1)
P = punt waar paaltje staat = (1,0)
Q = punt op eenheidscirkel in 1e kwadrant waarvoor |PQ| = R (snijpunt van weilandcirkel met koordcirkel)
Q' = spiegeling van Q in x-as
noem
alfa = hoek POQ
beta = hoek OPQ
Dan geldt:
koordcirkel: oppervlakte cirkelsector Q'PQ = beta*R^2
weilandcirkel: oppervlakte cirkelsector Q'OQ = alfa
oppervlak vierhoek Q'OQP = 2 * oppervlak driehoek OPQ = h

Oppervlak graasgebied = beta*R^2 + alfa - h
en dit moet gelijk zijn aan pi/2.

Numeriek benaderd levert dit Q ~= (0.32867416, 0.94444338) en R ~= 1.15872847.