vraagstukje van wiskundige Abu Kamil

[klikkie]

Iemand beveelt zijn dienaar 12 dinar als aalmoes te schenken aan 12 personen maar zo dat elke man 2 dinar, elke vrouw een halve dinar en elk kind een vierde dinar krijgt. Op welke manieren kan dit gebeuren?

dit mooie vraagstukje staat bij de moeilijkste van ons boek. Het zou moeten op te lossen zijn door middel van matrices. Maar ik zoek al een tijdje naar de juiste vergelijkingen om in de matrix te stoppen. Weet iemand van jullie hoe ik dit vraagstuk zou aanpakken?

ik heb: x= aantal mannen, y= aantal vrouwen, z= aantal kinderen
en dan: 2x + 1/2 y + 1/4 z = 12
en dan ook nog x + y + z = 12 (maar deze klopt waarschijnlijk niet)

de oplossing van het vraagstukje:
Het kan op twee manieren: ofwel vie r mannen en acht vrouwen, ofwel 5 mannen, 1 vrouw en 6 kinderen

[arie]

Je hebt 2 vergelijkingen gevonden:
[1] 2x + 1/2 y + 1/4 z = 12
[2] x + y + z = 12
die allebei kloppen.
Vermenigvuldig [2] links en rechts met 2 en je krijgt [3]:
[3] 2x + 2y + 2z = 24
Trek [1] van [3] af:
[4] 3/2 y + 7/4 z = 12
vermenigvuldig links en rechts met 4:
[5] 6y + 7z = 48
deel links en rechts door 6:
[6] y + (7/6) z = 8
Dit moet gehele getallen groter of gelijk nul als oplossing geven: z is dus een zesvoud:
z=0 => y=8
z=6 => y=1
andere oplossingen zijn er niet
Controleer ook dat x in beide gevallen een geheel getal groter of gelijk nul is.

[gieldl]

Met matrices:

Code: Selecteer alles

|2   1/2   1/4      12|
|1    1    1        12|

2 als spil:
|2   1/2   1/4      12|
|0   3/2   7/4      12|

3/2 als spil:
|3    0   -1/2      12|
|0   3/2   7/4      12|

Vereenvoudigen (rij 1 delen door 3 en rij 2 delen door 3/2):
|1    0   -1/6       4|
|0    1    7/6       8|

Hieruit volgt:
x - (1/6)z = 4
y + (7/6)z = 8

We nemen y + (7/6)z = 8
Net als arie al zei moet dit gehele getallen groter of gelijk aan nul als oplossing geven, dus z is een zesvoud:
z = 0   =>   y = 8   =>   x = 4
z = 6   =>   y = 1   =>   x = 5