Van een rij u(0), u(1), u(2), u(3),... is de somrij s(0), s(1), s(2), s(3),... op de gebruikelijke manier gedefinieerd door:
s(0) = u(0)
s(1) = u(0) + u(1) = s(0) + u(1)
s(2) = u(0) + u(1) + u(2) = s(1) + u(2)
enz.
Verder is gegeven s(n) = 3 - 2u(n) voor n = 0, 1, 2, 3,....
a. Bereken de exacte waarde van u(3).
b. Toon aan dat de rij u(0), u(1), u(2), u(3),... een meetkundige rij is.
Ik heb al mijn boeken, een aantal van mijn klasgenoten en nog een paar anderen geraadpleegd maar niemand wist het. Ook ik weet het niet. Kan iemand mij alsjeblieft helpen?
Alvast bedankt.
6VWO rijen, heel raar.
Re: 6VWO rijen, heel raar.
Gegeven:
[1] s(n) = 3 - 2u(n)
voor n = 0,1,2,...
Dit geldt voor n=0, dus:
s(0) = u(0) = 3 - 2u(0)
<=>
3u(0)=3
<=>
u(0)=1
dus ook
s(0)=1
Verder weet je:
[2] s(n) = s(n-1) + u(n)
samen met [1] levert dit:
s(n) = s(n-1) + u(n) = 3 - 2u(n)
<=>
3u(n) = 3 - s(n-1)
<=>
[3] u(n) = 1 - (1/3)*s(n-1).
Met formules [2] en [3] kan je u(n) en s(n) bepalen voor achtereenvolgens n = 1,2,3,...
(uit s(0) hierboven bereken je u(1), uit s(0) en u(1) bereken je s(1), uit s(1) bereken je u(2) etc)
Hier kom je zelf verder wel uit denk ik.
Het bewijs is een spoiler voor dit deel, deze post ik apart.
[1] s(n) = 3 - 2u(n)
voor n = 0,1,2,...
Dit geldt voor n=0, dus:
s(0) = u(0) = 3 - 2u(0)
<=>
3u(0)=3
<=>
u(0)=1
dus ook
s(0)=1
Verder weet je:
[2] s(n) = s(n-1) + u(n)
samen met [1] levert dit:
s(n) = s(n-1) + u(n) = 3 - 2u(n)
<=>
3u(n) = 3 - s(n-1)
<=>
[3] u(n) = 1 - (1/3)*s(n-1).
Met formules [2] en [3] kan je u(n) en s(n) bepalen voor achtereenvolgens n = 1,2,3,...
(uit s(0) hierboven bereken je u(1), uit s(0) en u(1) bereken je s(1), uit s(1) bereken je u(2) etc)
Hier kom je zelf verder wel uit denk ik.
Het bewijs is een spoiler voor dit deel, deze post ik apart.
Laatst gewijzigd door arie op 29 jan 2009, 21:52, 1 keer totaal gewijzigd.
Re: 6VWO rijen, heel raar.
Uit onderdeel a vermoeden we dat geldt voor n=0,1,2,3,....:
=\left(\frac{2}{3}\right)^n)
waardoor
=\sum_{i=0}^{n}\left(\frac{2}{3}\right)^i)
We bewijzen met volledige inductie dat deze voldoen aan de gegeven vergelijking s(n) = 3 - 2u(n):
(1) voor i=0 geldt:
^0 = 3 - 2 * \left(\frac{2}{3}\right)^0)
dit klopt
(2) stel de vergelijking klopt voor n, dan moeten we aantonen dat deze ook klopt voor (n+1):
=\sum_{i=0}^{n+1}\left(\frac{2}{3}\right)^i)
^i + \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1})
^n + \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1})
^n + \frac{2}{3}*\left(\frac{2}{3}\right)^{n})
^{n})
^{n})
^{n})
^{n+1})
)
Dus klopt de formule ook voor (n+1) als deze klopt voor n.
Met andere woorden:
is een oplossing voor s(n) = 3 - 2u(n); en dit is duidelijk een meetkundige rij.
waardoor
We bewijzen met volledige inductie dat deze voldoen aan de gegeven vergelijking s(n) = 3 - 2u(n):
(1) voor i=0 geldt:
dit klopt
(2) stel de vergelijking klopt voor n, dan moeten we aantonen dat deze ook klopt voor (n+1):
Dus klopt de formule ook voor (n+1) als deze klopt voor n.
Met andere woorden:
is een oplossing voor s(n) = 3 - 2u(n); en dit is duidelijk een meetkundige rij.
Re: 6VWO rijen, heel raar.
u(o) en u(1) had ik, maar om de één of andere reden kreeg ik bij u(2) een negatief getal en klopte mijn vermoeden (u(n) = (2/3)^n) niet meer. Maar nu wel weer haha bedankt.
Op bepaalde fora kun je reputatiepunten of iets dergelijks geven. Kan dat hier ook?
Op bepaalde fora kun je reputatiepunten of iets dergelijks geven. Kan dat hier ook?