hallo
voor een werkstuk over fractalen maken we iets en ik leg de drakenkromme uit. Op de site waar ik de informatie vond, stonden er twee opdrachten, maar zonder oplossingen en ik twijfel of mijn oplossing juist is.
De drakenkromme kan je vergelijken met een curve die je maakt uit een aantal stappen.
Stap Aantal lijnstukjes
1| 2
2| 2.2=4
3| 2.2.2=8
4| 2.2.2.2=16
.| ...
n| 2.2. ... .2= 2^n
Daarstraks verklapten we reeds dat de drakenkromme ruim vijfenzestigduizend lijnstukjes staan. Wel, het zijn er 65536 om precies te zijn.
Kan je met deze informatie de vraag beantwoorden?
Hint: Hoeveel maal moet je 65536 delen door 2 eer je 1 uitkomt? voor dit kom ik het antwoord 16 uit, dit heb ik berekend door middel van logaritmen.
Hoe lang is de curve in stap n ?
Hoe lang is de curve van de drakenkromme?
De lengte van het lijnstukje uit de beginsituatie is 1.
Hint: Gebruik de stelling van Pythagoras.
over deze oplossing ben ik niet zo zeker. Ik denk wel dat het juist is, maar ik heb bevestiging nodig, want stel dat het verkeerd is en sta ik daar maandag foute dingen te verkondigen voor de klas, dan.. ja xD
1² = x²+x² (dit is zo, want elke stap bestaat uit het vervangen van een lijnstuk met lengte 1 door de twee rechthoekszijden die samen een rechthoekige gelijkbenige driehoek vormen)
0.5 = x²
x= (vierkantswortel 2 )/ 2
en dit is de lengte van 1 rechthoekszijde. In stap één zijn er twee lijnstukken, dus de curve na 1 stap is vierkantswortel 2 lang.
voor stap 2: 2² .( (vierkantwortel 2) / (2) )= 2 vierkantswortel 2
en dan steeds zo verder zodat je eigenlijk de volgende formule bekomt voor de lengte van de curve van stap n:
2^n . (vierkantswortel 2) / (2)
en dan voor de volledige drakencurve gemaakt in 16 stappen: 32768 . vierkantswortel 2
klopt dit? ^^
klopt dit?
Re: klopt dit?
Je berekening van de totale lengte na de eerste stap is goed:
In de tweede en elke volgende stap moet je in feite dezelfde berekening uitvoeren:
neem 1 zijde x, noem de nieuwe lijnstukken y, dan geldt
^2 = \frac{1}{2})
dus
en
Nu heb je 4 lijnstukken y, dus de totale lengte na 2 stappen =
Controleer dit door de fractal na 2 stappen zelf te tekenen en dit na te meten.
(jij nam hier voor de totale lengte 4 keer de oude lengte x, maar dat is wat te veel)
Je kan ook redeneren: na elke stap wordt elk lijnstuk van de fractal wortel(2) keer zo groot, dus ook de lengte van de hele fractal wordt per stap wortel(2) keer zo groot.
Na 16 stappen is de totale lengte dus:
^{16} = 2^8 = 256)
en in het algemeen na n stappen:
^n = 2^{(n/2)})
In de tweede en elke volgende stap moet je in feite dezelfde berekening uitvoeren:
neem 1 zijde x, noem de nieuwe lijnstukken y, dan geldt
dus
en
Nu heb je 4 lijnstukken y, dus de totale lengte na 2 stappen =
Controleer dit door de fractal na 2 stappen zelf te tekenen en dit na te meten.
(jij nam hier voor de totale lengte 4 keer de oude lengte x, maar dat is wat te veel)
Je kan ook redeneren: na elke stap wordt elk lijnstuk van de fractal wortel(2) keer zo groot, dus ook de lengte van de hele fractal wordt per stap wortel(2) keer zo groot.
Na 16 stappen is de totale lengte dus:
en in het algemeen na n stappen:
Re: klopt dit?
ik denk dat ik het niet meer begrijp...arie schreef:Je berekening van de totale lengte na de eerste stap is goed:
In de tweede en elke volgende stap moet je in feite dezelfde berekening uitvoeren:
neem 1 zijde x, noem de nieuwe lijnstukken y, dan geldt
dus
en
Nu heb je 4 lijnstukken y, dus de totale lengte na 2 stappen =
Controleer dit door de fractal na 2 stappen zelf te tekenen en dit na te meten.
(jij nam hier voor de totale lengte 4 keer de oude lengte x, maar dat is wat te veel)
Je kan ook redeneren: na elke stap wordt elk lijnstuk van de fractal wortel(2) keer zo groot, dus ook de lengte van de hele fractal wordt per stap wortel(2) keer zo groot.
Na 16 stappen is de totale lengte dus:
en in het algemeen na n stappen:
OP deze afbeelding staat stap1:
hieruit haalde ik dat 1 zijde (bvb de rode) de helft is van vierkantswortel 2, dus telde de hele eerste stap 2 x (vierkantwortel 2)/2 of vierkantswortel 2En dit is dan stap 2 :
Hierin kan je 4 zo'n lijntjes zien van de helft van vierkantwortel twee lang, dus 2vierkantswortel(2) toch?
En als je dit doet met jouw formule, dan kom je voor stap 2 uit dat de curve 2 lang is..???
Re: klopt dit?
Teken beide figuren in een assenstelsel, met in figuur 1 = na 1 stap:
rode lijnstuk van coordinaten (0, 1) = top naar (1/2, 1/2)
blauwe lijnstuk van coordinaten (0, 0) = oorsprong naar (1/2, 1/2)
de lengte van het rode lijnstuk =
^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2})
de lengte van het blauwe lijnstuk =
^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2})
(uiteraard even lang als het rode deel).
En totale lengte na 1 stap:
In figuur 2 (= na 2 stappen) blijven de punten (0,0), (1/2, 1/2) en (0, 1) op de fractal liggen, en worden
het rode en blauwe lijnstuk elk omgevormd in 2 lijnstukken, die op hun beurt (1/2)*wortel(2) van
de oorspronkelijke lengte hebben, dit is dus [(1/2)*wortel(2)] * [(1/2)*wortel(2)] = 1/2.
Er zijn 4 van deze nieuwe lijnstukken dus de totale lengte na 2 stappen = 4 * (1/2) = 2.
Je ziet dit ook in figuur 2:
het rode lijnstuk van figuur 1 wordt nu:
- een lijnstuk van (0, 1) naar (0, 1/2) = lengte 1/2
- een lijnstuk van (0, 1/2) naar (1/2, 1/2) = lengte 1/2
het blauwe lijnstuk van figuur 1 wordt nu:
- een lijnstuk van (1/2, 1/2) naar (1/2, 0) = lengte 1/2
- een lijnstuk van (1/2, 0) naar (0, 0) = lengte 1/2
In totaal dus lengte 2.
Kom je zo verder?
rode lijnstuk van coordinaten (0, 1) = top naar (1/2, 1/2)
blauwe lijnstuk van coordinaten (0, 0) = oorsprong naar (1/2, 1/2)
de lengte van het rode lijnstuk =
de lengte van het blauwe lijnstuk =
(uiteraard even lang als het rode deel).
En totale lengte na 1 stap:
In figuur 2 (= na 2 stappen) blijven de punten (0,0), (1/2, 1/2) en (0, 1) op de fractal liggen, en worden
het rode en blauwe lijnstuk elk omgevormd in 2 lijnstukken, die op hun beurt (1/2)*wortel(2) van
de oorspronkelijke lengte hebben, dit is dus [(1/2)*wortel(2)] * [(1/2)*wortel(2)] = 1/2.
Er zijn 4 van deze nieuwe lijnstukken dus de totale lengte na 2 stappen = 4 * (1/2) = 2.
Je ziet dit ook in figuur 2:
het rode lijnstuk van figuur 1 wordt nu:
- een lijnstuk van (0, 1) naar (0, 1/2) = lengte 1/2
- een lijnstuk van (0, 1/2) naar (1/2, 1/2) = lengte 1/2
het blauwe lijnstuk van figuur 1 wordt nu:
- een lijnstuk van (1/2, 1/2) naar (1/2, 0) = lengte 1/2
- een lijnstuk van (1/2, 0) naar (0, 0) = lengte 1/2
In totaal dus lengte 2.
Kom je zo verder?