Gegeven zijn drie punten van een driehoek in een plat vlak:
P1: x = 39731 / y = 20539
P2: x = 39723 / y = 0
P3: x = 0 / y = 9550
We zijn op zoek naar punt C.
C maakt deel uit van een verzameling punten waarvoor geldt dat de afstand van zo'n punt tot een bepaald referentiepunt R1 opgeteld bij de afstand van dat punt tot een ander referentiepunt R2 steeds hetzelfde is.
Bovendien is berekend dat je op C terechtkomt als je vanuit R1 of R2 een lijn trekt onder een hoek van 53.9355 graden.
De genoemde verzameling punten raakt aan elk van de zijden van de driehoek die opgespannen wordt door de punten P1, P2 en P3 en daar geheel binnen ligt.
Waar ligt C?
Goniometrisch vraagstuk
Goniometrisch vraagstuk
Laatst gewijzigd door Guus op 23 sep 2009, 21:01, 1 keer totaal gewijzigd.
Re: Goniometrisch vraagstuk
Waar komt dit vraagstuk vandaan?Guus schreef:Gegeven zijn drie punten van een driehoek in een plat vlak:
P1: x = 39731 / y = 20539
P2: x = 39723 / y = 0
P3: x = 0 / y = 9550
We zijn op zoek naar punt C.
C maakt deel uit van een verzameling punten waarvoor geldt dat de afstand van zo'n punt tot een bepaald referentiepunt R1 opgeteld bij de afstand van dat punt tot een ander referentiepunt R2 steeds hetzelfde is.
Bovendien is berekend dat je op C terechtkomt als je vanuit R1 of R2 een lijn trekt onder een hoek van 53.9355 graden.
De genoemde verzameling punten raakt aan elk van de zijden van de driehoek die opgespannen wordt door de punten P1, P2 en P3 en daar geheel binnen ligt.
Waar ligt C?
C maakt deel uit van een verzameling punten waarvoor geldt dat de afstand van zo'n punt tot een bepaald referentiepunt R1 opgeteld bij de afstand van dat punt tot een ander referentiepunt R2 steeds hetzelfde is.
Enig idee hoe deze verz eruit ziet?
Bovendien is berekend dat je op C terechtkomt als je vanuit R1 of R2 een lijn trekt onder een hoek van 53.9355 graden.
Voor een hoek zijn twee (halve) lijnen nodig met een gemeenschappelijk beginpunt.
Verder lijkt me dit een meetkundig vraagstuk.
Re: Goniometrisch vraagstuk
Ik bedoel een hoek tov de y-as.
Geen idee hoe die verzameling punten eruit ziet.
Alles wat ik weet is dat de verzameling punten aan alle drie de zijden van de driehoek raakt. Een ingeschreven cirkel doet zoiets, waarbij R1 het middelpunt zou kunnen zijn, maar dan zie ik niet zo goed waar dan R2 moet liggen... Daar stokt het bij mij.
Geen idee hoe die verzameling punten eruit ziet.
Alles wat ik weet is dat de verzameling punten aan alle drie de zijden van de driehoek raakt. Een ingeschreven cirkel doet zoiets, waarbij R1 het middelpunt zou kunnen zijn, maar dan zie ik niet zo goed waar dan R2 moet liggen... Daar stokt het bij mij.
Re: Goniometrisch vraagstuk
Waar komt dit vraagstuk vandaan???
C maakt deel uit van een verzameling punten waarvoor geldt dat de afstand van zo'n punt tot een bepaald referentiepunt R1 opgeteld bij de afstand van dat punt tot een ander referentiepunt R2 steeds hetzelfde is.
Enig idee hoe deze verz eruit ziet?
Deze verz is een ellips met R1 en R2 als hoofdas
Bovendien is berekend dat je op C terechtkomt als je vanuit R1 of R2 een lijn trekt onder een hoek van 53.9355 graden.
Voor een hoek zijn twee (halve) lijnen nodig met een gemeenschappelijk beginpunt.
Kennelijk gaat deze lijn door R1 en R2, dwz je weet de ligging van de hoofdas van de ellips.
Verder lijkt me dit een meetkundig vraagstuk.
C maakt deel uit van een verzameling punten waarvoor geldt dat de afstand van zo'n punt tot een bepaald referentiepunt R1 opgeteld bij de afstand van dat punt tot een ander referentiepunt R2 steeds hetzelfde is.
Enig idee hoe deze verz eruit ziet?
Deze verz is een ellips met R1 en R2 als hoofdas
Bovendien is berekend dat je op C terechtkomt als je vanuit R1 of R2 een lijn trekt onder een hoek van 53.9355 graden.
Voor een hoek zijn twee (halve) lijnen nodig met een gemeenschappelijk beginpunt.
Kennelijk gaat deze lijn door R1 en R2, dwz je weet de ligging van de hoofdas van de ellips.
Verder lijkt me dit een meetkundig vraagstuk.
Re: Goniometrisch vraagstuk
Ok, best. Een meetkundig vraagstuk dan.
Een ellips dus.
Ok, wat ik weet is dat de ellips de grootst mogelijke oppervlakte bezet binnen de gegeven driehoek in het xy vlak. De vraag is dus waar de twee brandpunten (R1 en R2) van de ellips zich bevinden, omdat de afstand van elk punt op de ellips tot aan het ene punt R1 opgeteld bij de afstand tot R2 altijd gelijk is?
Een ellips dus.
Ok, wat ik weet is dat de ellips de grootst mogelijke oppervlakte bezet binnen de gegeven driehoek in het xy vlak. De vraag is dus waar de twee brandpunten (R1 en R2) van de ellips zich bevinden, omdat de afstand van elk punt op de ellips tot aan het ene punt R1 opgeteld bij de afstand tot R2 altijd gelijk is?
Re: Goniometrisch vraagstuk
En vervolgens, welke twee punten die onderdeel zijn van deze (eerste) Steiner ellips binnen de driehoek, liggen tov R1 en R2 (de brandpunten van de ellips) op 53.9355 graden berekend vanaf de y-as (die natuurlijk op 0 graden ligt)?
Re: Goniometrisch vraagstuk
Waar komt dit vrgstk vandaan???Guus schreef:Ok, best. Een meetkundig vraagstuk dan.
Een ellips dus.
Ok, wat ik weet is dat de ellips de grootst mogelijke oppervlakte bezet binnen de gegeven driehoek in het xy vlak. De vraag is dus waar de twee brandpunten (R1 en R2) van de ellips zich bevinden, omdat de afstand van elk punt op de ellips tot aan het ene punt R1 opgeteld bij de afstand tot R2 altijd gelijk is?
De richting van de hoofdas (door R1 en R2),waar ook C op ligt, is volgens je gegeven bekend. Zie:
Dit is nieuw:Guus schreef:Bovendien is berekend dat je op C terechtkomt als je vanuit R1 of R2 een lijn trekt onder een hoek van 53.9355 graden.
Waar ligt C?
Ok, wat ik weet is dat de ellips de grootst mogelijke oppervlakte bezet binnen de gegeven driehoek in het xy vlak.
Hoezo?
Re: Goniometrisch vraagstuk
Even een pb gestuurd met wat meer uitleg.
Re: Goniometrisch vraagstuk
Probeer de discussie s.v.p. zo veel mogelijk via het forum te laten lopen, dan kunnen we allemaal meedenken en/of wat ervan leren.
Re: Goniometrisch vraagstuk
inmiddels opgelost??
Re: Goniometrisch vraagstuk
Puzzel gevonden:
http://www.geocaching.com/seek/cache_de ... 482b170d7d
Ben er inmiddels aan begonnen. Als ik verder kom doe ik een post maar gaat me vooral om wiskundige oplossing.
http://www.geocaching.com/seek/cache_de ... 482b170d7d
Ben er inmiddels aan begonnen. Als ik verder kom doe ik een post maar gaat me vooral om wiskundige oplossing.
Re: Goniometrisch vraagstuk
Oplossingsschema:
[a] zet de WGS84 coordinaten om in RD coordinaten
we zoeken nu de Steiner inellips (zie http://www.xtec.es/~qcastell/ttw/ttweng ... er_ei.html)
De brandpunten hiervan kunnen we bepalen via http://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse
[c] merk op dat de driehoek P1,P2,P3 (vrijwel) gelijkbenig is
[d] merk op dat de basis van deze gelijkbenige driehoek (vrijwel) verticaal staat
[e] merk op dat wgs [c] en [d] de lange as van de Steiner ellips (vrijwel) horizontaal loopt, dit vereenvoudigt de volgende berekeningen sterk.
[f] transleer deze lange as loodrecht naar de x=as, wgs [e] kan je dan schrijven:
P1' = a+b*i
P2' = a-b*i
P3' = c
[g] neem de afgeleide f '(x) van f(x)=(x-(a+bi))*(x-(a-bi))*(x-c) en los op f '(x)=0 (de imaginaire componenten vallen hierbij weg)
de 2 waarden die je hier vindt zijn de x-coordinaten van de brandpunten (F1 en F2, kies F1 in het westen en F2 in het oosten)
de y-coordinaten van beide brandpunten zijn het gemiddelde van de y-coordinaten van P1, P2 en P3.
(in de beschrijving zijn F1 en F2 de referentiepunten R1 en R2, maar omdat we hier wiskundig bezig zijn geven we de voorkeur aan de letter F)
[h] Voor het midden van de ellips, M = (mx, my) geldt:
mx=(F1x+F2x)/2
my=F1y=F2y
De ellips kan je nu schrijven als
^2)*(1-e^2)})
waarbij
zie bv http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse
[j] Bepaal dan de lijnen door de 2 brandpunten onder een hoek van 53.9355 graden met het noorden, dit kan dus per brandpunt naar het noordoosten of naar het noordwesten, in totaal 4 lijnen.
Deze vind je via
l: y = F1y + tan(90-53.9355)*(x-F1x)
wgs [e] kan je ook schrijven
l: y = my + tan(90-53.9355)*(x-F1x)
Stel deze gelijk aan de y van de ellips, en je vindt de x coordinaten van de eerste 2 snijpunten
evenzo voor
l2: y = my + tan(90-53.9355)*(x-F2x)
Via de lijn- of via de ellips-vergelijking bepaal je de bijbehorende y-waarde van de snijpunten
[k] zet tenslotte de RD coordinaten terug om naar WGS84
[l] omdat de cacher op P3 de inval voor de cache-plek kreeg, is de lijn vanuit het westelijke brandpunt naar het noordoosten de meest waarschijnlijke (want wat zie je vanuit zee?).
[a] zet de WGS84 coordinaten om in RD coordinaten
we zoeken nu de Steiner inellips (zie http://www.xtec.es/~qcastell/ttw/ttweng ... er_ei.html)
De brandpunten hiervan kunnen we bepalen via http://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse
[c] merk op dat de driehoek P1,P2,P3 (vrijwel) gelijkbenig is
[d] merk op dat de basis van deze gelijkbenige driehoek (vrijwel) verticaal staat
[e] merk op dat wgs [c] en [d] de lange as van de Steiner ellips (vrijwel) horizontaal loopt, dit vereenvoudigt de volgende berekeningen sterk.
[f] transleer deze lange as loodrecht naar de x=as, wgs [e] kan je dan schrijven:
P1' = a+b*i
P2' = a-b*i
P3' = c
[g] neem de afgeleide f '(x) van f(x)=(x-(a+bi))*(x-(a-bi))*(x-c) en los op f '(x)=0 (de imaginaire componenten vallen hierbij weg)
de 2 waarden die je hier vindt zijn de x-coordinaten van de brandpunten (F1 en F2, kies F1 in het westen en F2 in het oosten)
de y-coordinaten van beide brandpunten zijn het gemiddelde van de y-coordinaten van P1, P2 en P3.
(in de beschrijving zijn F1 en F2 de referentiepunten R1 en R2, maar omdat we hier wiskundig bezig zijn geven we de voorkeur aan de letter F)
[h] Voor het midden van de ellips, M = (mx, my) geldt:
mx=(F1x+F2x)/2
my=F1y=F2y
De ellips kan je nu schrijven als
waarbij
zie bv http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse
[j] Bepaal dan de lijnen door de 2 brandpunten onder een hoek van 53.9355 graden met het noorden, dit kan dus per brandpunt naar het noordoosten of naar het noordwesten, in totaal 4 lijnen.
Deze vind je via
l: y = F1y + tan(90-53.9355)*(x-F1x)
wgs [e] kan je ook schrijven
l: y = my + tan(90-53.9355)*(x-F1x)
Stel deze gelijk aan de y van de ellips, en je vindt de x coordinaten van de eerste 2 snijpunten
evenzo voor
l2: y = my + tan(90-53.9355)*(x-F2x)
Via de lijn- of via de ellips-vergelijking bepaal je de bijbehorende y-waarde van de snijpunten
[k] zet tenslotte de RD coordinaten terug om naar WGS84
[l] omdat de cacher op P3 de inval voor de cache-plek kreeg, is de lijn vanuit het westelijke brandpunt naar het noordoosten de meest waarschijnlijke (want wat zie je vanuit zee?).
Re: Goniometrisch vraagstuk
SPOILER:
Ik kom uit op de volgende 4 oplossingen van het probleem:
meest waarschijnlijke oplossing:
108773.1899
485935.3567
N52.3593656 E4.7085964
overige 3 oplossingen:
100739.9976
481632.9271
N52.3199651 E4.5913731
118924.4835
485935.3567
N52.3601262 E4.85761
126957.6757
481632.9273
N52.3219273 E4.9758936
Iemand zin om daar even langs te fietsen ter controle?
Ik kom uit op de volgende 4 oplossingen van het probleem:
meest waarschijnlijke oplossing:
108773.1899
485935.3567
N52.3593656 E4.7085964
overige 3 oplossingen:
100739.9976
481632.9271
N52.3199651 E4.5913731
118924.4835
485935.3567
N52.3601262 E4.85761
126957.6757
481632.9273
N52.3219273 E4.9758936
Iemand zin om daar even langs te fietsen ter controle?