Loopschema mahjong (combinatoriek?)

[Sukkelweiden]

Voor mijn mahjongclub ben ik bezig een zogenoemd 'loopschema' te maken.
De opgave is om om 28 spelers (indivuduen, geen teams) in negen speelrondes allemaal eenmaal tegen elkaar te laten spelen aan negen (edit: zeven!) tafels van vier. Spelers mogen elkaar niet dus vaker aan tafel treffen.
Na gestrande pogingen om deze puzzel op te lossen (ik ben een wiskundeleek) meld ik me hier in de hoop dat men mij de oplossing kan leveren.
Mijn hartelijke dank en oneindige bewondering vallen de knappe kop ten deel!

[melvin.vermeer]

Dit probleem lijkt in mijn ogen op een variant van mijn "spelletjesdag"-probleem (zie topic)

Gelukkig heb jij wat minder variabelen, daarom denk ik dat jouw probleem wiskundig wel oplosbaar is.
Misschien is dit ook wel te programmeren, zal ik later vandaag eens proberen

[Sukkelweiden]

Dank voor je reactie, Melvin!
Ik probeerde het onder andere op de volgende manier:
Nrs. 1 t/m 28 per vier aan zeven [foutje in de basistekst] tafels plaatsen. Vervolgens elke eerste speler (1,5,9 etc.) in de volgende één tafel verder plaatsen, elke tweede speler (2,6,10 etc.) twee tafels verder, elke derde speler één tafel terug en elke vierde speler twee tafels terug.
Na de zevende ronde loopt dit principe echter vast.

[David]

Hallo Sukkelweiden,

Het moeten 9 tafels zijn.
Elke speler speelt in totaal tegen 27 spelers.
In een ronde, aan een tafel speelt een speler tegen 3 spelers.

Dus 9 tafels. Je vorige tekst was juist.

[Sukkelweiden]

Ja, maar er zitten in de praktijk vier spelers aan een tafel dus zijn slechts 7 tafels in gebruik (toch?).
Wel zijn (minimaal) 9 rondes nodig om elke speler elke van de 27 andere deelnemers te laten treffen.

[Sjoerd Job]

Een andere aanpak, is om speler 1 eerst te bekijken, en de rondes als volgt uit te laten spelen:
1 2 3 4
1 5 6 7
1 8 9 10
1 11 12 13
1 14 15 16
1 17 18 19
1 20 21 22
1 23 24 25
1 26 27 28

Nu is speler 1 in ieder geval al goed, en mag aan tafel 1 blijven zitten.
De volgende tafel kan je als volgt vullen: Je zet speler 5 neer (eerst vrije), maar die mag niet met 6 en 7, dus kan je speler 8 en 11 en 14 toevoegen. De derde tafel heeft in de eerste ronde dan 6 9 12 15.

Lukt deze strategie wel?

[David]

Dat is wel jammer, het is inderdaad negen ronden, niet negen tafels.. Je hebt gelijk met te zeggen,
.
En 9 ronden.

[Sukkelweiden]

Een andere aanpak, is om speler 1 eerst te bekijken, en de rondes als volgt uit te laten spelen:
1 2 3 4
1 5 6 7
1 8 9 10
1 11 12 13
1 14 15 16
1 17 18 19
1 20 21 22
1 23 24 25
1 26 27 28
Nu is speler 1 in ieder geval al goed, en mag aan tafel 1 blijven zitten.
De volgende tafel kan je als volgt vullen: Je zet speler 5 neer (eerst vrije), maar die mag niet met 6 en 7, dus kan je speler 8 en 11 en 14 toevoegen. De derde tafel heeft in de eerste ronde dan 6 9 12 15.
Lukt deze strategie wel?

Dank voor je meedenken! Ik heb diverse varianten uitgewerkt (vruchteloos, helaas) maar het is me niet duidelijk hoe je dan de tweede en verdere rondes te werk wilt gaan.

[David]

Ik probeer ook wat. Ik heb voor te "oefenen" een speelschema gemaakt voor 9 spelers met ronden aan tafels van 3. geeft (9-1)/(3-1)=4 ronden.



Het is nog niet wat je zoekt, en misschien vind ik dat nog, maar een aantal dingen valt mij op.
Misschien vanzelfsprekend, maar ik noem ze.

• Ronde 1 is te schrijven door het aantal speler uit te schrijven.
• In de ronden daarna zitten de spelers die bij elkaar aan tafel zaten niet meer bij elkaar, Dus 1 zit altijd aan tafel 1, 2 aan 2, en 3 aan 3.
• De spelers 4, 5 en 6 zitten telkens op "plaats 2" en de spelers 7, 8 en 9 zitten op plaats 3.
• Let op de ordening van 4, 5 en 6 aan de tafels. 4 en dan naar beneden (als je helemaal beneden bent, naar boven) andersom voor 7, 8 en 9 op "plaatsen 3"

Misschien helpt dit iemand.

[Sukkelweiden]

Ik heb nog een nieuwe poging gewaagd.
Spelers 1, 5, 9, 13, 17, 21 en 25 ('Oost') blijven steeds aan resp. tafels 1 t/m 7 zitten.
De spelers op de plaatsen Noord schuiven steeds een tafel op (vooruit), die op West twee tafels en die op Zuid steeds één tafel terug.

Code: Selecteer alles

	R1	R2	R3	R4	R5	R6	R7
T1	01	01	01	01	01	01	01
T1	02	08	12	07	14	10	06
T1	03	23	15	16	20	19	11
T1	04	26	22	18	27	24	28
T2	05	02	05	05	03	05	04
T2	06	05	16	11	05	14	05
T2	07	12	19	20	18	23	10
T2	08	27	26	22	24	28	15
T3	09	03	02	09	07	04	08
T3	10	06	09	15	09	09	09
T3	11	09	20	24	22	18	14
T3	12	16	23	26	28	27	19
T4	13	07	06	02	04	03	12
T4	14	10	13	13	11	08	13
T4	15	13	24	19	13	13	18
T4	16	20	27	28	26	22	23
T5	17	11	03	04	02	07	16
T5	18	14	10	06	08	12	17
T5	19	17	17	17	15	17	22
T5	20	24	28	23	17	26	27
T6	21	15	04	08	06	02	03
T6	22	18	07	10	12	11	20
T6	23	21	14	21	19	16	21
T6	24	28	21	27	21	21	26
T7	25	04	08	03	10	06	02
T7	26	19	11	12	16	15	07
T7	27	22	18	14	23	20	24
T7	28	25	25	25	25	25	25

Het hierboven gebruikte sortering vertekent een en ander wat, maar na 7 rondes heb ik dan de situatie dat ik vier groepen spelers overhoud die elkaar nog niet hebben getroffen:
1-5-9-13-17-21-25
2-6-10-14-18-22-26
3-7-11-15-19-23-27
4-8-12-16-20-24-28
Het lukt me echter niet om deze zeventallen in de resterende twee rondes zonder verdubbeling tegen elkaar te laten spelen... Anyone?

[David]

Het hierboven gebruikte sortering vertekent een en ander wat, maar na 7 rondes heb ik dan de situatie dat ik vier groepen spelers overhoud die elkaar nog niet hebben getroffen:
1-5-9-13-17-21-25
2-6-10-14-18-22-26
3-7-11-15-19-23-27
4-8-12-16-20-24-28

Je moet 7 tafels volzetten, ronde 8 zou
1-5-9-13;
2-6-10-14;
3-7-11-15;
4-8-12-16
kunnen zijn, maar dan krijg je geen tafel met 4 personen meer vol.

Het vorige schema kwam mooi uit omdat het aantal spelers een kwadraat (9) was. Ik heb nu eens met 6 spelers geprobeerd.



Ik heb niet per ronde, maar per tafel ingedeeld, misschien werkt dat.

• Je kan hier wel ronde 1 uitschrijven (1-2, 3-4, 5-6)
• speler 1 bij tafel 1 en speler 2 bij tafel 2 indelen, maar niet altijd speler 3 bij tafel 3 (dan speelt die sowieso nooit tegen 1).
• Ik ben ervan uitgegaan dat je wel speler 1 en 2 zo mag indelen, omdat er 2 spelers aan een tafel zitten.

Dan heb ik een begin gemaakt voor een speelschema met 28 spelers aan 7 tafels.

...........tafel 1..........tafel 2....... tafel 3........ tafel 4....... tafel 5....... tafel 6...... tafel 7
Ronde 1) 1-2-3-4.......5-6-7-8........9-10-11-12....13-14-15-16...17-18-19-20..21-22-23-24..25-26-27-28
Ronde 2) 1-5-13-21....2-12-19-26.....3-11-17-23....4-10-15-28
Ronde 3) 1-6-14-22....2-5-20-27.....3-12-18-24.....4-11-16-21
Ronde 4) 1-7-15-23....2-6-13-28.....3-5-19-25.....4-12-17-22
Ronde 5) 1-8-16-24....2-7-14-21.....3-6-20-26.....4-5-18-23
Ronde 6) 1-9-17-25....2-8-15-22.....3-7-13-27.....4-6-19-24
Ronde 7) 1-10-18-26....2-9-16-23....3-8-14-28.....4-7-20-25
Ronde 8 ) 1-11-19-27....2-10-17-24....3-9-15-21....4-8-13-26
Ronde 9) 1-12-20-28....2-11-18-25....3-10-16-22....4-9-14-27

• Alle spelers moeten tegen speler 1. speler 1 op tafel 1. Van boven naar beneden invullen, starten bij 5 in ronde 2.
• Alle spelers moeten tegen speler 2. speler 2 op tafel 2. Van boven naar beneden invullen, starten bij 5 in ronde 3. 13 speelde al tegen 5, dus die nog 1 plaats lager in ronde 4. Een dergelijke redenatie ook voor speler 21.
• Alle spelers moeten tegen speler 3. speler 3 op tafel 3. Van boven naar beneden invullen, starten bij 5 in ronde 4. 13 speelde al tegen 5 en 6, dus die nog 2 plaatsen lager in ronde 6. Een dergelijke redenatie ook voor speler 21.
• Alle spelers moeten tegen speler 4. speler 4 op tafel 4. Van boven naar beneden invullen, starten bij 5 in ronde 5. 13 speelde al tegen 5 en 6 en 7, dus die nog 2 plaatsen lager in ronde 8. Een dergelijke redenatie ook voor speler 21.
• Viel me nog iets op: plaats 2, 3 en 4 aan tafel 1 verschillen (8 modulo 8 ) met elkaar vanaf ronde 2, bij 1 plaatsnummer verschil.
• Plaats 2, 3 en 4 op tafel 2 verschillen (7 modulo 8 ) met elkaar vanaf ronde 2, bij 1 plaatsnummer verschil.
• Plaats 2, 3 en 4 op tafel 3 verschillen (6 modulo 8 ) met elkaar vanaf ronde 2, bij 1 plaatsnummer verschil.
• Plaats 2, 3 en 4 op tafel 4 verschillen (5 modulo 8 ) met elkaar vanaf ronde 2, bij 1 plaatsnummer verschil.

Misschien is die regelmaat te gebruiken voor tafels 5, 6 en 7?
Ik weet (nog) niet hoe het schema verder moet worden ingevuld.

[Sukkelweiden]

Dank Daco
Ik zal een en ander eens goed tot me laten doordringen en dan proberen het verder uit te werken.

[Sukkelweiden]

Het schema dat je plaatste is helaas niet de oplossing, Daco.
Omdat speler 5 in de eerste vijf rondes speler 9 niet tegenkomt en speler 9 in de rondes zes t/m negen speler 5 niet tegenkomt is er geen gelegenheid meer om deze spelers bij elkaar in te delen.
Mijn zoektocht is dus nog niet ten einde...
Kan iemand mij bevestigen dat dit probleem op te lossen moet zijn? Of is het - ook vanuit de wiskundige theorie - gewoon onmogelijk?

Code: Selecteer alles

Ronde 1	1	02	11	21
Ronde 2	1	03	12	22
Ronde 3	1	04	13	23
Ronde 4	1	05	14	24
Ronde 5	1	06	15	25
Ronde 6	1	07	17	26
Ronde 7	1	08	18	27
Ronde 8	1	09	19	28
Ronde 9	1	10	20	

Heb ik niet 'gewoon' 29 spelers nodig om een en ander mogelijk te maken (waarvan er dan steeds een niet speelt)?
Met bovenstaande indeling kom ik namelijk een speler te kort....

[David]

Ja, bij nader inzien, is mijn laatste opzet geen opzet voor een geschikt schema. In elke ronde is of 5 of 9 al ingedeeld of allebei, en kunnen dus niet samen worden ingedeeld.

Ik vraag me af er niet een deel van mijn opzet (ronde 1 uitnummeren, vanaf ronde 2: altijd speler 1 aan tafel 1, speler 2 altijd aan tafel 2, speler 3 altijd aan tafel 3 en speler 4 altijd aan tafel 4) die spelers hebben in ronde 1 al tegen elkaar gespeeld, en hoeven niet meer tegen elkaar. Je kan binnen een ronde "groepjes" spelers van 4 van tafel laten wisselen, dus dit zou mogelijk moeten zijn.

Als je zou een opzet mogelijk moeten zijn om eerst tafel 1, dan tafel 2... tafel 4 in te delen.

Er waren nog meer vragen over speelschema´s op dit forum, bijvoorbeeld, en, maar wat ik tegenkwam ging over schema´s waarin 2 spelers/teams tegen elkaar speelden in plaats van hier 4 spelers.

Ik kan geen uitsluitsel geven over de mogelijkheid dat je gevraagde speelschema bestaat.

[Marco]

Kan iemand mij bevestigen dat dit probleem op te lossen moet zijn? Of is het - ook vanuit de wiskundige theorie - gewoon onmogelijk?

Interessant vraagstuk, ik heb er wat op zitten puzzelen. Ik kan niet tot een oplossing komen, maar ook niet tot een bewijs waarom het niet zou kunnen...