inductie?

[vwpolo02]

Toon aan dat n²-1 deelbaar is door 8 voor elk oneven natuurlijk getal.

Ik denk dat dit via inductie moet gebeuren maar ik weet niet goed wat in het rechterlid te zetten...

[arie]

Bedenk dat je alle oneven getallen kunt schrijven als
2k+1
voor gehele k.
Substitueer dit voor n (n=2k+1) in de oorspronkelijke vergelijking en werk deze vervolgens verder uit.

[vwpolo02]

(n^2 - 1) met n oneven:

(2k + 1)^2 - 1
4k^2 + 4k
4k(k+1)

4 vermenigvuldigen met een even getal is altijd deelbaar door 8 (k of k+1 is deelbaar door 2)
Waarschijnlijk nog geen bewijs genoeg? of toch?
heb het gevoel dat ik dit ergens in het rechterlid nodig heb...

(n+1)(n-1)

4.1.2=8
4.2.3=24
4.3.4=48
4.4.5=80
...

[arie]

(2k + 1)^2 - 1
4k^2 + 4k
4k(k+1)

4 vermenigvuldigen met een even getal is altijd deelbaar door 8 (k of k+1 is deelbaar door 2)
Waarschijnlijk nog geen bewijs genoeg? of toch?

Dit is voldoende bewijs.

Je had het probleem ook kunnen formuleren als
Bewijs dat voor alle oneven n geldt: m = n^2 - 1 is deelbaar door 8.
Dan kom je uit op m = 4k(k+1)
voor gehele k, dus is m deelbaar door 8.
Maar nogmaals: noodzakelijk is dit niet.