Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

NC_Anonymous · Bericht door **NC_Anonymous** » 14 jan 2011, 15:48

Hallo!

Aangezien ik bij 2 vragen van een examen van Lineaire Algebra er niet uit geraak, is mijn vraag of jullie mij een beetje op weg zouden kunnen helpen. Hier zijn ze:

1. Beschouw de vectorruimte V van veeltermen in de veranderlijke x met reële coëfficiënten en van graad ten hoogste 7. Beschouw de afbeeldingen $f$
$f : V \rightarrow V : p(x) \mapsto x\frac{dp(x)}{dx}+c$
met $c \epsilon \mathbb{R}$

Voor welke waarden van c is $f$ een lineaire transformatie?

Beschouw verder enkel die waarden van c waarvoor $f$ een lineaire transformatie is.

Wat zijn de dimensies van V, de kern van $f$ en het bereik van $f$ ?
Wat zijn de eigenwaarden en eigenvectoren van $f$ ?

4. Beschouw de vectorruimte van alle reële mxn matrices en definieer daarbij een inwendig product $<A,B> = tr(B^{T}A)$ . tr staat voor trace (=spoor) van een matrix, d.i. de som van de diagonaalelementen.
Bewijs dat $tr(B^{T}A)$ inderdaad een inwendig product is.
Hint: om aan te tonen dat $<A,A>\geq 0$ , moet je aantonen dat $<A,A>$ = de som van de kwadraten van alle elementen van de matrix A.

Alvast bedankt!

Bericht door **arie** » 16 jan 2011, 21:02

Vraag 1:

$p(x) = a_7 \cdot x^7 + a_6 \cdot x^6 + a_5 \cdot x^5 + a_4 \cdot x^4 + a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0$

en

$x \cdot p'(x) + c = 7a_7 \cdot x^7 + 6a_6 \cdot x^6 + 5a_5 \cdot x^5 + 4a_4 \cdot x^4 + 3a_3 \cdot x^3 + 2a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + c$

(als je dit nog niet gevonden had, ga dit dan zelf svp even na).

In feite gaat het dus om de afbeelding:

$f : \begin{bmatrix} a_7\\ a_6\\ a_5\\ a_4\\ a_3\\ a_2\\ a_1\\ a_0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 7a_7\\ 6a_6\\ 5a_5\\ 4a_4\\ 3a_3\\ 2a_2\\ a_1\\ c \end{bmatrix}$

Wanneer is dit een lineaire afbeelding, ofwel: wanneer gelden de lineariteitsvoorwaarden?

Vraag 4:

Toon aan dat aan alle voorwaarden voor een inproduct is voldaan.
Zie bv http://nl.wikipedia.org/wiki/Inwendig_product onder de kop "Algemene definitie" en daar weer de eerste drie punten 1. t/m 3.

Kom je hiermee verder?

NC_Anonymous · Bericht door **NC_Anonymous** » 18 jan 2011, 13:49

Bedankt voor de uitleg!

Ondertussen heb ik de eerste vraag verder uitgewerkt:

Lineaire transformatie:
$T(u+v)=7(a_{7}+b_{7})+6(a_{6}+b_{6})+5(a_{5}+b_{5})+4(a_{4}+b_{4})+3(a_{3}+b_{3})+2(a_{2}+b_{2})+(a_{1}+b_{1})$
$=(7a_{7}+6a_{6}+5a_{5}+4a_{4}+3a_{3}+2a_{2}+a_{1}+c)+(7b_{7}+6b_{6}+5b_{5}+4b_{4}+3b_{3}+2b_{2}+b_{1}+c)=T(u)+T(v)$

$T(xA)=7(x\cdot a_{7})+6(x\cdot a_{6})+5(x\cdot a_{5})+4(x\cdot a_{4})+3(x\cdot a_{3})+2(x\cdot a_{2})+(x\cdot a_{1})+(x\cdot c)$
$=x\cdot (7a_{7}+6a_{6}+5a_{5}+4a_{4}+3a_{3}+2a_{2}+a_{1}+c)=xT(A)$

$T(0) = (0)$ enkel en alleen als $c = 0$

Dimensie van V: 8
Kern van f : $\left \{ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ b \end{bmatrix} : b \epsilon \mathbb{R} \right \}$
Bereik van f : $\begin{bmatrix} 1 & 7\\ 1 & 6\\ 1 & 5\\ 1 & 4\\ 1 & 3\\ 1 & 2\\ 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

Is bovenstaande correct (ik vermoed dat het bereik niet juist is)? Hoe kan ik de eigenwaarden en eigenvectoren van f berekenen?

Vraag 2 zal ik verder bekijken wanneer vraag 1 dan volledig opgelost is.
Alvast bedankt!

Bericht door **arie** » 18 jan 2011, 14:20

Je lineariteitsvoorwaarden kloppen niet, het wordt wsch duidelijker voor je als je in je vergelijkingen ook alle machten van x noteert.
Leidt zo nodig voor p(x) nog eens stap voor stap af:
p(x)
p'(x)
x*p'(x)
x*p'(x)+c

In vectorvoorstelling kom ik uit op:

$f \begin{bmatrix} u_7\\ u_6\\ u_5\\ u_4\\ u_3\\ u_2\\ u_1\\ u_0 \end{bmatrix}+f \begin{bmatrix} v_7\\ v_6\\ v_5\\ v_4\\ v_3\\ v_2\\ v_1\\ v_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7u_7\\ 6u_6\\ 5u_5\\ 4u_4\\ 3u_3\\ 2u_2\\ u_1\\ c \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 7v_7\\ 6v_6\\ 5v_5\\ 4v_4\\ 3v_3\\ 2v_2\\ v_1\\ c \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 7(u_7+v_7)\\ 6(u_6+v_6)\\ 5(u_5+v_5)\\ 4(u_4+v_4)\\ 3(u_3+v_3)\\ 2(u_2+v_2)\\ u_1+v_1\\ 2c \end{bmatrix}$

$f \begin{bmatrix} (u_7+v_7)\\ (u_6+v_6)\\ (u_5+v_5)\\ (u_4+v_4)\\ (u_3+v_3)\\ (u_2+v_2)\\ (u_1+v_1)\\ (u_0+v_0) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7(u_7+v_7)\\ 6(u_6+v_6)\\ 5(u_5+v_5)\\ 4(u_4+v_4)\\ 3(u_3+v_3)\\ 2(u_2+v_2)\\ u_1+v_1\\ c \end{bmatrix}$

Voor welke waarde van c is f(u)+f(v)=f(u+v)?

Evenzo:

$f \begin{bmatrix} x \cdot v_7\\ x \cdot v_6\\ x \cdot v_5\\ x \cdot v_4\\ x \cdot v_3\\ x \cdot v_2\\ x \cdot v_1\\ x \cdot v_0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7xv_7\\ 6xv_6\\ 5xv_5\\ 4xv_4\\ 3xv_3\\ 2xv_2\\ xv_1\\ c \end{bmatrix}$

$x \cdot f \begin{bmatrix} v_7\\ v_6\\ v_5\\ v_4\\ v_3\\ v_2\\ v_1\\ v_0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7xv_7\\ 6xv_6\\ 5xv_5\\ 4xv_4\\ 3xv_3\\ 2xv_2\\ xv_1\\ xc \end{bmatrix}$

Opnieuw: voor welke waarde van c geldt: x f(v) = f(xv)?

Wanneer is de afbeelding dus lineair?

Dimensie en kern zijn goed, waarbij de kern 1-dimensionaal is.
Wat weet je dan van de dimensie van het bereik?

Krijg je ideeen over eigenwaarden en eigenvectoren als je de afbeelding in matrix-vorm schrijft?

NC_Anonymous · Bericht door **NC_Anonymous** » 18 jan 2011, 17:20

Bij f(u) + f(v) = f(u+v) => c = 0
Bij x f(v) = f(xv) => c = 0
Afbeelding is dus lineair als c = 0

Aangezien dim kern f + dim bereik f = n,

dim kern f = 1
dim n = 2 (denk ik, door de 2 kolommen vaan de matrix)
==>dim bereik f = 1

Hoe ik nu dat bereik bereken, heb ik geen idee van en Google maakt me ook al niet wijzer...

De afbeelding in matrix-vorm is deze, vermoed ik:
$\begin{bmatrix} 1 & 7\\ 1 & 6\\ 1 & 5\\ 1 & 4\\ 1 & 3\\ 1 & 2\\ 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

Bericht door **arie** » 18 jan 2011, 18:29

Zoek het niet te ver: we hadden al:

$f : \begin{bmatrix} a_7\\ a_6\\ a_5\\ a_4\\ a_3\\ a_2\\ a_1\\ a_0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 7a_7\\ 6a_6\\ 5a_5\\ 4a_4\\ 3a_3\\ 2a_2\\ a_1\\ c \end{bmatrix}$

en weten dat c=0 (want f is een lineaire afbeelding):

$f : \begin{bmatrix} a_7\\ a_6\\ a_5\\ a_4\\ a_3\\ a_2\\ a_1\\ a_0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 7a_7\\ 6a_6\\ 5a_5\\ 4a_4\\ 3a_3\\ 2a_2\\ a_1\\ 0 \end{bmatrix}$

Dit zijn vectoren van lengte 8, dus de dimensie van de ruimte waarin we werken is ook 8 (dit had je overigens eerder al juist aangegeven). Je kan dit beschouwen als een ruimte waarbij elke macht van x (x^0 t/m x^7) een dimensie (=as) vormt.

De kern had je al gevonden:

$Ker(f) = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ b \end{bmatrix} = b \cdot \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$

Elk van deze vectoren wordt door f afgebeeld op de nulvector.

Kan je nu het bereik bepalen? (dit moet dus een ruimte zijn van dimensie 8 - 1 = 7)

Stel zo nodig de matrixvorm op: de afbeelding in matrixvorm moet een 8x8 matrix zijn, waarvoor
A*v = f(v)
Zoek deze ook vooral niet te diep: je kan hem zo opschrijven.

NC_Anonymous · Bericht door **NC_Anonymous** » 18 jan 2011, 19:49

Als ik het goed begrijp:
$A=\begin{bmatrix} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Dus bereik is van dimensie 7:
de eerste 7 kolommen van A (aangezien de laatste kolom gewoon een nulkolom is)

Van A moet ik dus (volgens de opdracht) dus dan ook de eigenwaarden en eigenvectoren van berekenen:
- eigenwaarden: 7,6..1,0 (diagonaalelementen)
- eigenvectoren: (1,0,0,0,0,0,0,0), (0,1,0,0,0,0,0,0),...,(0,0,0,0,0,0,0,1)

Bericht door **arie** » 18 jan 2011, 21:32

Klopt.

Ten overvloede:
A is een diagonaalmatrix, dus je kan de eigenwaarden direct aflezen.
Als je zou diagonaliseren (naar A = E D E^(-1)) zie je direct A = I A I = I A I^(-1), dus E = I = de eenheidsmatrix en de eigenvectoren zijn de eenheidsvectoren, behorend bij de corresponderende eigenwaarde.

NC_Anonymous · Bericht door **NC_Anonymous** » 19 jan 2011, 10:20

Ik heb ondertussen vraag 2 al wat beter bekeken, maar ik weet niet hoe ik hieraan moet beginnen. De voorwaarden van een inwendig product ken ik, maar ik weet niet hoe ik ze hier kan toepassen.
Bijvoorbeeld: $<A,A> \geq 0$ + die hint is gewoon logisch, hoe kan ik dat nu bewijzen?

Bericht door **arie** » 19 jan 2011, 13:21

Kijk eerst wat tr(B^T A) betekent, desnoods via een voorbeeld, hier met 2x3 matrices:

$B^T \cdot A=\begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{2,1}\\b_{1,2} & b_{2,2}\\b_{1,3} &b_{2,3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1,1} &a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{,1}\cdot b_{,1} & - & -\\ - & a_{,2}\cdot b_{,2} & -\\ - & -& a_{,3}\cdot b_{,3}\end{bmatrix}$

In de laatste stap kijk je alleen naar de diagonaal-elementen, de overige heb je niet nodig.
Op deze diagonaal staan precies de inproducten van de n-de kolomvector van A en de n-de kolomvector van B, dus de trace is:

$tr(B^T A) = \sum_{i=1}^{n}\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_i$

waarbij ai en bi (voor i=1..n) de kolomvectoren van A en B voorstellen, twee aan twee vermenigvuldigd met het gebruikelijke vector-inproduct.

Lukt het nu om alle voorwaarden aan te tonen?

NC_Anonymous · Bericht door **NC_Anonymous** » 19 jan 2011, 15:11

1. bilineair

<x+y,z>=<x,z>+<y,z>

$<A+C,B> = tr(B^{T}(A+C))=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+c{i})\cdot b_{i}$ (1)
$<A,B>+<C,B>=tr(B^{T}A)+tr(B^{T}C) = \sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot b_{i}+\sum_{i=1}^{n}c_{i}\cdot b_{i}$ $=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+c_{i})\cdot b_{i}$ (2)
(1) = (2)

<x,y+z>=<x,y>+<x,z>

$<A,B+C> = tr((B+C)^{T}A)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot (b_{i}+c_{i})$ (3)
$<A,B>+<A,C>=tr(B^{T}A)+tr(C^{T}A) = \sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot b_{i}+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot c_{i}$ $=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot (b_{i}+c_{i})$ (4)
(3) = (4)

<x, $\lambda$ y>= $\lambda$ <x,y>=< $\lambda$ x,y>

$<A,\lambda B> = tr((\lambda B)^{T}A)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot (\lambda b_{i})$ (5)
$\lambda<A, B> = \lambda tr(B^{T}A)=\lambda \sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot b_{i}$ (6)
$<\lambda A, B> = tr(B^{T}(\lambda A))=\sum_{i=1}^{n}(\lambda a_{i})\cdot b_{i}$ (7)

(5) = (6) en (6) = (7) dus (5) = (7)

2. symmetrisch
$<A,B> = tr(B^{T}A)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot b_{i}$ (8)
$<B,A> = tr(A^{T}B)=\sum_{i=1}^{n}b_{i}\cdot a_{i}$ (9)

(8) = (9)

3. positief definiet
$<A,A> = tr(A^{T}A)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot a_{i}$
$=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}$
Doordat een kwadraat wordt genomen is <A,A> altijd >= 0.
<A,A> is 0 als en slechts als alle $a_{i}$ gelijk is aan 0.

Ik vermoed dat ik hiermee juist zit?

Bericht door **arie** » 19 jan 2011, 17:57

Het ziet er goed uit.

Afhankelijk van hoe nauwkeurig ze het bij jullie willen hebben zou je sommige stappen nog iets verder kunnen uitwerken of toelichten:

je formule (2):

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot b_{i}+\sum_{i=1}^{n}c_{i}\cdot b_{i}$

$=\sum_{i=1}^{n} \left(a_{i}\cdot b_{i}+c_{i}\cdot b_{i} \right)$

$=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+c_{i})\cdot b_{i}$

waarbij de eerste gelijkheid geldt wgs sommatie en de tweede wgs lineariteit vectorinproduct.
Zo nodig een zelfde tussenstap in je vergelijking (4) en vergelijkbaar bij (5):

$=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot (\lambda b_{i})$

$=\sum_{i=1}^{n} \lambda (a_{i}\cdot b_{i})$

$=\lambda \sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot b_{i}$

Dan bij positief definiet: a_i zijn vectoren, daarom zou ik in de laatste sommatie modulus-strepen gebruiken:

$<A,A> = tr(A^{T}A)=\sum_{i=1}^{n}a_i\cdot a_i=\sum_{i=1}^{n}|a_i|^{2}$

Je mag dan (zoals je gedaan hebt) direct stellen dat uit

$\sum_{i=1}^{n}a_i\cdot a_i=\sum_{i=1}^{n}|a_i|^{2} = 0$

volgt dat alle kolomvectoren van A nulvector moeten zijn, dus ook alle elementen van A gelijk aan nul.

Een alternatief is dat je het vector-inproduct ook nog als sommatie schrijft:

$a_i\cdot a_i=|a_i|^{2} = \sum_{j=1}^{m} a_{j,i}^{2}$

waarbij voor elke kolomvector a_i de j over de rijen loopt (j=1..m, m=vectorlengte=aantal rijen van A)

Samengevoegd levert dit:

$\sum_{i=1}^{n}a_i\cdot a_i=\sum_{i=1}^{n}|a_i|^{2} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{j,i}^{2}$

en dit is precies de sommatie van de kwadraten van alle elementen uit A, waar ze in je tip op doelden.

Maar nogmaals: je uitwerking was goed, hierboven alleen wat details en alternatieven.

NC_Anonymous · Bericht door **NC_Anonymous** » 19 jan 2011, 19:19

Duizendmaal dank om me te helpen deze 2 oefeningen uit te werken. Alles is duidelijker geworden dankzij jouw hulp!

Ik heb echter nog één kleine vraag:
"Is de volgende bewering juist of fout?
Als X een genormeerde eigenvector is van een nxn matrix A met eigenwaarde 1,
dan is X ook een eigenvector van de matrix $A^{2}+2A+XX^{T}$ , met eigenwaarde 1.
Verklaar uw antwoord.
Indien deze bewering volgens u fout is, tracht ze dan te verbeteren.

Door middel van enkele voorbeelden uit te werken, meen ik dat de bewering fout is en dat X een eigenvector is van die nieuwe matrix, met eigenwaarde 4. Ik kan dit als volgt verklaren:

$A\cdot v = \lambda \cdot v$

1. $A^{2} ->A \cdot A \cdot v = \lambda \cdot \lambda v = \lambda^{2} \cdot v$ , dus eigenwaarde tot de macht 2: 1² = 1
2. $2A -> 2A \cdot v = 2 \cdot \lambda v$ , dus eigenwaarde x 2: 1x2 = 2
3. $XX^{T}$ eigenwaarde: 1

Som van 1, 2 en 3 levert ons de nieuwe eigenwaarde 4 op.

Nu mijn vraag: 1 en 2 kan ik verklaren, maar 3 niet. Waarom wordt door $XX^{T}$ de eigenwaarde nog verhoogd met 1?

Bericht door **arie** » 19 jan 2011, 20:31

We moeten aantonen dat (XX^T)*X = 1*X
Kijk eerst naar het product XX^T, een nxn matrix:

$X \cdot X^T=\begin{bmatrix}... \\x_i \\... \\... \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 & x_2& ...& x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}... & ...& ...& ...\\ x_i x_1&x_i x_2 &... & x_i x_n\\... & ...& ...& ...\\... &... &... & ...\end{bmatrix}$

(ik heb hier alleen rij i aangegeven, maar dit geldt voor iedere i=1..n)

Vermenigvuldig deze matrix nu met X :

$(X \cdot X^T) \cdot X=\begin{bmatrix}... & ...& ...& ...\\ x_i x_1&x_i x_2 &... & x_i x_n\\... & ...& ...& ...\\... &... &... & ...\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\... \\x_n \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}... \\x_i x_1^2 + x_i x_2^2 + ... + x_i x_n^2 \\... \\ ... \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}... \\x_i (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \\... \\ ... \end{bmatrix}$

Gegeven is dat X genormeerd is, wat weet je dan over $(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)$ ?
Wat is dan dus de einduitkomst van het product (XX^T)*X ?

NC_Anonymous · Bericht door **NC_Anonymous** » 20 jan 2011, 10:26

Geen flauw idee...

Wiskundeforum

Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Re: Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Re: Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Re: Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Re: Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Re: Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Re: Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Re: Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Re: Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Re: Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Re: Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Re: Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Re: Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Re: Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor

Re: Lineaire transformatie + Inwendig product/spoor