de aap en de kokosnoten

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Gesloten
Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

de aap en de kokosnoten

Bericht door wnvl » 09 feb 2012, 21:22

N.a.v. het raadsel van hyperbool over de munten, hier een gekend raadsel van dezelfde soort over de aap en de kokosnoten voor degenen die het nog niet kennen...


Vijf schipbreukelingen zwemmen naar een klein eiland waar ze alleen een kokosnotenboom en een aap aantreffen. Ze verzamelen alle kokosnoten en leggen ze in een stapel onder de boom. Uitgeput besluiten ze om pas de volgende ochtend de kokosnoten te verdelen.

Om een uur 's nachts wordt de eerste schipbreukeling wakker. Hij realiseert zich dat hij de anderen niet kan vertrouwen en besluit zijn deel alvast te nemen. Hij verdeelt de kokosnoten in vijf gelijke stapels, maar houdt daarbij een kokosnoot over. Hij geeft die kokosnoot aan de aap, verbergt zijn eigen kokosnoten (één van de vijf stapels), en plaatst de rest van de kokosnoten (de andere vier stapels) terug onder de boom.

Om twee uur 's nachts wordt de tweede schipbreukeling wakker. Zich niet bewust van het feit dat de eerste schipbreukeling zijn deel al heeft weggenomen, verdeelt ook hij de kokosnoten in vijf gelijke stapels en houdt daarbij ook een kokosnoot over, die hij aan de aap geeft. Dan verbergt hij zijn kokosnoten (één van de vijf stapels), en plaatst de rest van de kokosnoten (de andere vier stapels) terug onder de boom.

Om drie, vier en vijf uur 's nachts worden achtereenvolgens de derde, vierde en vijfde schipbreukeling wakker en voeren dezelfde handelingen uit als de eerste twee schipbreukelingen.

's Morgens, als ze opstaan, proberen ze allemaal zo onschuldig mogelijk te kijken. Geen van de schipbreukeling maakt een opmerking over de gekrompen stapel kokosnoten, en geen van hen besluit om eerlijk te zijn en toe te geven dat hij zijn deel al genomen heeft. Ze verdelen de kokosnoten voor de zesde maal in vijf gelijke stapels en houden daarbij alweer een kokosnoot over, die ze aan de aap geven.


De Vraag: Wat is de kleinste hoeveelheid kokosnoten waaruit de oorspronkelijke stapel kan hebben bestaan?

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 654
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: de aap en de kokosnoten

Bericht door barto » 11 feb 2012, 11:58

Het beginaantal n is , dus .
De eerste neemt één a weg, dus blijft er 4a over, en die is ook , dus .
Nu wordt er één b weggenomen, dus .
En zo is ook en , en als iedereen opstaat blijkt: .


f is het uiteindelijke aantal dat iedereen krijgt, en dat moet zo klein mogelijk zijn, maar moet wel voldoen aan de voorwaarden.


Dus moet deelbaar zijn door 4, en is f van de vorm .
Dan is e gelijk aan .


Dus moet deelbaar zijn door 4, en is g van de vorm .
Dan is d gelijk aan .


Dus moet deelbaar zijn door 4, en ook hier is h van de vorm .
Dan is c gelijk aan


Zo ga je verder voor b en dan voor a en vind je uiteindelijk:

(eigenlijk heb ik dit niet uitgerekend maar veronderstelde ik gewoon dat , omdat alles een patroon vertoonde)
Het aantal moet zo klein mogelijk zijn, dus .
Omdat : .



Er moet zeker een handigere manier voor zijn :?
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: de aap en de kokosnoten

Bericht door wnvl » 11 feb 2012, 15:49

Perfect!!!

Mike van K.
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 14 jun 2015, 05:32

Re: de aap en de kokosnoten

Bericht door Mike van K. » 14 jun 2015, 06:12

De Vraag was: Wat is de kleinste hoeveelheid kokosnoten waaruit de oorspronkelijke stapel kan hebben bestaan? Het antwoord (b)lijkt wiskundig bewezen 15621 te zijn.

Toch heb ik vannacht slecht geslapen omdat ik op 12495 ben uitgekomen. Ik zal ergens blind voor zijn, maar ik zie niet waar. :cry: Help !

Stel even dat de oorspronkelijke stapel uit 12495 kokosnoten bestaat:
De eerste schipbreukeling neemt 2499 kokosnoten en de aap krijgt 1 kokosnoot
Dan blijven er 12495 - 2500 = 9995 kokosnoten over.
De tweede schipbreukeling neemt 1999 kokosnoten en de aap krijgt 1 kokosnoot.
Dan blijven er 9995 - 2000 = 7995 kokosnoten over.
De derde schipbreukeling neemt 1599 kokosnoten en de aap krijgt 1 kokosnoot.
Dan blijven er 7995 - 1600 = 6395 kokosnoten over.
De vierde schipbreukeling neemt 1279 kokosnoten en de aap krijgt 1 kokosnoot.
Dan blijven er 6395 - 1280 = 5115 kokosnoten over.
De vijfde schipbreukeling neemt 1023 kokosnoten en de aap krijgt 1 kokosnoot.
Dan blijven er 5115 - 1024 = 4091 kokosnoten over

Bij het opstaan verdelen ze de kokosnoten in vijf gelijke stapels van 818 en ze houden daarbij 1 kokosnoot over die aan de aap wordt gegeven.

Ik ben nieuw op dit forum en hoop dat iemand van jullie me kan helpen.
Alvast bedankt.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: de aap en de kokosnoten

Bericht door David » 14 jun 2015, 10:09

Mike van K. schreef:Ik ben nieuw op dit forum
Welkom!
Mike van K. schreef:Stel even dat de oorspronkelijke stapel uit 12495 kokosnoten bestaat:
De eerste schipbreukeling neemt 2499 kokosnoten en de aap krijgt 1 kokosnoot
Als de eerste schipbreukeling 2499 kokosnoten neemt, en laat voor elke andere schipbreukeling (4 anderen) evenveel (2499) kokosnoten liggen, is er geen kokosnoot voor de aap.

Met die redenering kan je zeggen dat het aantal kokosnoten niet deelbaar is door 5. Omdat er na delen door 5 nog één kokosnoot is voor de aap, en geen andere meer om te verdelen kan je zeggen dat het aantal kokosnoten in de vorm 5k + 1 is (met k > 0). Ofwel, het aantal kokosnoten is een van de getallen uit {1, 6, 11, 16, ...}
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Mike van K.
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 14 jun 2015, 05:32

Re: de aap en de kokosnoten

Bericht door Mike van K. » 14 jun 2015, 12:01

David, bedankt voor je antwoord. Ik las het verhaal niet goed en zat daardoor op een verkeerd spoor wat betreft het antwoord. Ik heb hieronder het oorspronkelijke verhaal van wnvl nogmaals geplaatst en dat verhaal twee keer een tikje gewijzigd om over te brengen dat goed lezen bij zo'n verhaal essentieel is om het juiste antwoord te kunnen geven. Voor een ieder die Vraag (II)en Vraag (III)zelf wil oplossen: De antwoorden staan helemaal onderaan. Dus niet te ver doorscrollen

Vijf schipbreukelingen zwemmen naar een klein eiland waar ze alleen een kokosnotenboom en een aap aantreffen. Ze verzamelen alle kokosnoten en leggen ze in een stapel onder de boom. Uitgeput besluiten ze om pas de volgende ochtend de kokosnoten te verdelen.
Om een uur 's nachts wordt de eerste schipbreukeling wakker. Hij realiseert zich dat hij de anderen niet kan vertrouwen en besluit zijn deel alvast te nemen. Hij verdeelt de kokosnoten in vijf gelijke stapels, maar houdt daarbij een kokosnoot over. Hij geeft die kokosnoot aan de aap, verbergt zijn eigen kokosnoten (één van de vijf stapels), en plaatst de rest van de kokosnoten (de andere vier stapels) terug onder de boom.
Om twee uur 's nachts wordt de tweede schipbreukeling wakker. Zich niet bewust van het feit dat de eerste schipbreukeling zijn deel al heeft weggenomen, verdeelt ook hij de kokosnoten in vijf gelijke stapels en houdt daarbij ook een kokosnoot over, die hij aan de aap geeft. Dan verbergt hij zijn kokosnoten (één van de vijf stapels), en plaatst de rest van de kokosnoten (de andere vier stapels) terug onder de boom.
Om drie, vier en vijf uur 's nachts worden achtereenvolgens de derde, vierde en vijfde schipbreukeling wakker en voeren dezelfde handelingen uit als de eerste twee schipbreukelingen.
's Morgens, als ze opstaan, proberen ze allemaal zo onschuldig mogelijk te kijken. Geen van de schipbreukeling maakt een opmerking over de gekrompen stapel kokosnoten, en geen van hen besluit om eerlijk te zijn en toe te geven dat hij zijn deel al genomen heeft. Ze verdelen de kokosnoten voor de zesde maal in vijf gelijke stapels en houden daarbij alweer een kokosnoot over, die ze aan de aap geven.
Vraag (I): Wat is de kleinste hoeveelheid kokosnoten waaruit de oorspronkelijke stapel kan hebben bestaan?


Vijf schipbreukelingen zwemmen naar een klein eiland waar ze alleen een kokosnotenboom en een aap aantreffen. Ze verzamelen alle kokosnoten en leggen ze in een stapel onder de boom. Uitgeput besluiten ze om pas de volgende ochtend de kokosnoten te verdelen.
Om een uur 's nachts wordt de eerste schipbreukeling wakker. Hij realiseert zich dat hij de anderen niet kan vertrouwen en besluit zijn deel alvast te nemen. Hij verdeelt de kokosnoten in vijf gelijke stapels, maar houdt daarbij een kokosnoot over. Hij geeft die kokosnoot aan de aap, verbergt zijn eigen kokosnoten (één van de vijf stapels), en plaatst de rest van de kokosnoten (de andere vier stapels) terug onder de boom.
Om twee uur 's nachts wordt de tweede schipbreukeling wakker. Zich niet bewust van het feit dat de eerste schipbreukeling zijn deel al heeft weggenomen, verdeelt ook hij de kokosnoten in vijf gelijke stapels. Hij verbergt zijn eigen kokosnoten, geeft een kokosnoot aan de aap en plaatst de rest van de kokosnoten terug onder de boom.
Om drie, vier en vijf uur 's nachts worden achtereenvolgens de derde, vierde en vijfde schipbreukeling wakker en voeren dezelfde handelingen uit als de tweede schipbreukeling.
's Morgens, als ze opstaan, proberen ze allemaal zo onschuldig mogelijk te kijken. Geen van de schipbreukeling maakt een opmerking over de gekrompen stapel kokosnoten, en geen van hen besluit om eerlijk te zijn en toe te geven dat hij zijn deel al genomen heeft. Ze verdelen de kokosnoten voor de zesde maal in vijf gelijke stapels en houden daarbij alweer een kokosnoot over, die ze aan de aap geven.
Vraag (II): Wat is de kleinste hoeveelheid kokosnoten waaruit de oorspronkelijke stapel kan hebben bestaan?

Vijf schipbreukelingen zwemmen naar een klein eiland waar ze alleen een kokosnotenboom en een aap aantreffen. Ze verzamelen alle kokosnoten en leggen ze in een stapel onder de boom. Uitgeput besluiten ze om pas de volgende ochtend de kokosnoten te verdelen.
Om een uur 's nachts wordt de eerste schipbreukeling wakker. Hij realiseert zich dat hij de anderen niet kan vertrouwen en besluit zijn deel alvast te nemen. Hij verdeelt de kokosnoten in vijf gelijke stapels en verbergt zijn eigen kokosnoten (één van de vijf stapels), geeft daarna een kokosnoot aan de aap en plaatst de rest van de kokosnoten terug onder de boom.
Om twee uur 's nachts wordt de tweede schipbreukeling wakker. Zich niet bewust van het feit dat de eerste schipbreukeling zijn deel al heeft weggenomen, verdeelt ook hij de kokosnoten in vijf gelijke stapels. Hij verbergt zijn eigen kokosnoten, geeft een kokosnoot aan de aap en plaatst de rest van de kokosnoten terug onder de boom.
Om drie, vier en vijf uur 's nachts worden achtereenvolgens de derde, vierde en vijfde schipbreukeling wakker en voeren dezelfde handelingen uit als de eerste twee schipbreukelingen.
's Morgens, als ze opstaan, proberen ze allemaal zo onschuldig mogelijk te kijken. Geen van de schipbreukeling maakt een opmerking over de gekrompen stapel kokosnoten, en geen van hen besluit om eerlijk te zijn en toe te geven dat hij zijn deel al genomen heeft. Ze verdelen de kokosnoten voor de zesde maal in vijf gelijke stapels en houden daarbij alweer een kokosnoot over, die ze aan de aap geven.
Vraag (III): Wat is de kleinste hoeveelheid kokosnoten waaruit de oorspronkelijke stapel kan hebben bestaan?













Het juiste antwoord op de Vraag(I) is 15621 kokosnoten.
Het juiste antwoord op de Vraag(II) is 12496 kokosnoten.
Het juiste antwoord op de Vraag(III)is 12495 kokosnoten.

Gesloten