Ad blocker gedetecteerd: Onze website wordt mogelijk gemaakt door online advertenties weer te geven aan onze bezoekers. Overweeg alstublieft ons te steunen door uw advertentieblokkering op onze website uit te schakelen. of een lidmaatschap aan te kopen
Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
-
barto
- Vergevorderde
![Vergevorderde Vergevorderde](./images/ranks/Pi 3.png)
- Berichten: 654
- Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02
Bericht
door barto » 25 mei 2012, 15:52
Naar aanleiding van de wiskundeolympiade kom ik de laatste tijd heel wat leuke bewijsjes tegen. Ik zal ze in de toekomst hier posten. Zie het als een puzzel, niet als een vraag van mij
![Cool 8)](./images/smilies/icon_cool.gif)
. Het is de bedoeling dat je ze oplost met niet te moeilijk rekenwerk. Je mag dus geen rekenmachine gebruiken, laat staan W/A
Hier alvast eentje waar toonijn en ik toch even mee bezig hebben gezeten:
Gegeven een rij
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?t\leftrightarrow\left\{\begin{matrix} t_0=1\\ t_{n+1}=&t_n+\frac{1}{t_n} \end{matrix}\right.)
. Bewijs dat
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?t_{100}>14)
.
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
-
wnvl
- Vergevorderde
![Vergevorderde Vergevorderde](./images/ranks/Pi 3.png)
- Berichten: 1490
- Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30
Bericht
door wnvl » 25 mei 2012, 17:24
-
barto
- Vergevorderde
![Vergevorderde Vergevorderde](./images/ranks/Pi 3.png)
- Berichten: 654
- Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02
Bericht
door barto » 25 mei 2012, 17:54
Ik versta er wel niet veel van maar het zal wel juist zijn. Lukt het je ook met leerstof 5e middelbaar?
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
(3e graad 1e jaar)
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
-
wnvl
- Vergevorderde
![Vergevorderde Vergevorderde](./images/ranks/Pi 3.png)
- Berichten: 1490
- Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30
Bericht
door wnvl » 25 mei 2012, 18:05
Wat ik doe is deze differentie vgl omzetten naar een differentiaalvgl (leerstof 1e-2e universiteit).
Dit is het equivalent van een differentievgl in geval van continue functies en deze differentiaalvgl is eenvoudig op te lossen.
Dit lijkt mij de eenvoudigste oplossing.
-
barto
- Vergevorderde
![Vergevorderde Vergevorderde](./images/ranks/Pi 3.png)
- Berichten: 654
- Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02
Bericht
door barto » 25 mei 2012, 19:37
Onze oplossing was om te bewijzen via inductie dat
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?t_n\geq\sqrt{2n})
vanaf een bepaalde waarde van
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?n)
. Op zich ook niet zo eenvoudig
![Exclamation :!:](./images/smilies/icon_exclaim.gif)
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
-
barto
- Vergevorderde
![Vergevorderde Vergevorderde](./images/ranks/Pi 3.png)
- Berichten: 654
- Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02
Bericht
door barto » 04 jun 2012, 19:04
2 Diophantische vergelijkingen:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?x^2+1=y^3)
en
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?x^2=y^3+1)
Los maar op.
![Cool 8)](./images/smilies/icon_cool.gif)
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
-
wnvl
- Vergevorderde
![Vergevorderde Vergevorderde](./images/ranks/Pi 3.png)
- Berichten: 1490
- Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30
Bericht
door wnvl » 04 jun 2012, 20:09
barto schreef:![](http://latex.codecogs.com/png.latex?x^2=y^3+1)
Los maar op.
![Cool 8)](./images/smilies/icon_cool.gif)
x=+-3 y=2
x=+-1 y=0
Laatst gewijzigd door
wnvl op 04 jun 2012, 20:14, 1 keer totaal gewijzigd.
-
wnvl
- Vergevorderde
![Vergevorderde Vergevorderde](./images/ranks/Pi 3.png)
- Berichten: 1490
- Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30
Bericht
door wnvl » 04 jun 2012, 20:10
barto schreef:2 Diophantische vergelijkingen:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?x^2+1=y^3)
x=0 y=1
-
barto
- Vergevorderde
![Vergevorderde Vergevorderde](./images/ranks/Pi 3.png)
- Berichten: 654
- Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02
Bericht
door barto » 05 jun 2012, 15:37
Had ik ook, maar het interessante is natuurlijk hoe je eraan komt.
![Question :?:](./images/smilies/icon_question.gif)
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
-
hosspf
- Vast lid
![Vast lid Vast lid](./images/ranks/Pi 1.png)
- Berichten: 27
- Lid geworden op: 18 jun 2012, 16:28
Bericht
door hosspf » 21 jun 2012, 21:28
Gegeven een rij
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?t\leftrightarrow\left\{\begin{matrix} t_0=1\\ t_{n+1}=&t_n+\frac{1}{t_n} \end{matrix}\right.)
. Bewijs dat
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?t_{100}>14)
.[/quote]
Ik wist niet dat een rij een t0 kon hebben?
-
barto
- Vergevorderde
![Vergevorderde Vergevorderde](./images/ranks/Pi 3.png)
- Berichten: 654
- Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02
Bericht
door barto » 22 jun 2012, 11:34
Ja, dat kan. In principe kan een rij zelfs een
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?t_{-5})
hebben.
Een rij is in feite niet veel anders dan een functie (van gehele getallen).
Beschouw de functie
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?f(n)=n^2)
in gehele getallen. Het is duidelijk dat ook
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?f(-2))
bestaat.
De
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?t_0)
kan handig zijn als je een begintoestand wil weergeven.
bv. ik heb 24 tanden en elk jaar valt er één uit.
Dan is het aantal tanden na
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?n)
jaar
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?t_n=24-n)
. De begintoestand, na 0 jaar is dan
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?t_0=24)
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
-
David
- Moderator
![Moderator Moderator](./images/ranks/Pi 4.png)
- Berichten: 4927
- Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22
Bericht
door David » 22 jun 2012, 12:21
Doorgaand op het voorbeeld van
barto:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?t\leftrightarrow\left\{\begin{matrix} t_0=24\\ t_{n+1}=&t_n-1 \end{matrix}\right.)
In dit geval kijk je alleen naar gehele n.
Mocht je stellen: f(n) = 24 - n, dan kan je iets concluderen als: na 1.5 jaar had barto 22.5 tanden, wat niet het geval is als de tanden er geheel uitvallen per jaar.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
-
Sjoerd Job
- Vergevorderde
![Vergevorderde Vergevorderde](./images/ranks/Pi 3.png)
- Berichten: 1144
- Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
- Locatie: Krimpen aan den IJssel
Bericht
door Sjoerd Job » 22 jun 2012, 13:46
David schreef:Doorgaand op het voorbeeld van
barto:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?t\leftrightarrow\left\{\begin{matrix} t_0=24\\ t_{n+1}=&t_n-1 \end{matrix}\right.)
In dit geval kijk je alleen naar gehele n.
Mocht je stellen: f(n) = 24 - n, dan kan je iets concluderen als: na 1.5 jaar had barto 22.5 tanden, wat niet het geval is als de tanden er geheel uitvallen per jaar.
Het gebruik van de letter n geeft impliciet aan dat het domein van je functie de gehele/natuurlijke getallen is. (Uiteraard is in dit geval f(25) ook een bogus-waarde, maar dat komt omdat de `formule' verkeerd is. (zou max(t_n -1 , 0) mogen zijn).
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
-
David
- Moderator
![Moderator Moderator](./images/ranks/Pi 4.png)
- Berichten: 4927
- Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22
Bericht
door David » 22 jun 2012, 14:07
Uit de context komt ook wel naar voren dat het om hele waarden gaat ("elk jaar valt er één uit"). Het impliciete kan wel dubbelzinnig zijn; verschil tussen geheel en natuurlijk. Bij geheel kan barto 1000 tanden hebben gehad. Bij alleen gehele (of ook deelverzameling natuurlijk) kan je je afvragen hoeveel tanden Barto had. Als je die vragen meeneemt, kan je de floorfunctie gebruiken
Ik zou van de context uitgaan, min(24, max(floor(t_n -1)), 0)) wordt wel naar bij gehele n. De juistheid van de formule hangt er ook vanaf..
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
-
barto
- Vergevorderde
![Vergevorderde Vergevorderde](./images/ranks/Pi 3.png)
- Berichten: 654
- Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02
Bericht
door barto » 08 sep 2012, 13:13
VWO 1988-1989 ronde 2, vraag 30.
Ik geraak er zelf nier uit:
"Onderstel dat 7 jongens en 13 meisjes zich in een rij opstellen. Noteer S voor het aantal keren dat in de rij een jongen en een meisje naast elkaar staan. Bijvoorbeeld: voor de rij MJJMMMJMJMMMJMJMMJMM geldt S = 12. Welk van de volgende getallen benadert het best de gemiddelde waarde van S (indien men alle mogelijke ordeningen van deze 20 mensen beschouwt)?
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13 "
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.