probleem waarbij ik een probleem heb.

[Dylan M]

Probleem:

'Zij C een punt op een halfcirkel C met diameter [AB] en zij D het midden van de boog AC. Zij l de raaklijn in D aan C. Het snijpunt van l` en BC noemen we E en het tweede snijpunt van AE met C noemen we F. Toon aan dat BF het lijnstuk [DE] in twee gelijke stukken verdeelt.'

Kan iemand helpen?

[SafeX]

Heb je een goede tekening?
Is drh BDC rechthoekig in C? Staat BF loodrecht AC?
Noem G het snijpunt van BF met DE en bekijk het product van GF*GB ...

[Dylan M]

Volgens mij heb ik een goede tekening en zal ik dus zeggen dat neen, drh BDC is niet rechthoekig in C, maar ik weet niet hoe dat ik dit kan aantonen. Dan BF staat niet loodrecht op AC, dit weet ik met zekerheid. En GF*GB = EG². Ik heb ondertussen ook kunnen merken dat als men het snijpunt van AF en DO (met O middelpunt van de halve cirkel) H noemen dat DGFH en KHFC koordenvierhoeken zijn. Bijgevolg zijn er drie machtslijnen die elkaar snijden in 1 punt nl. F. Dus F is een machtspunt. En als DGFH een koordenvierhoek is, is EG*ED = EF*EH. Verder raak ik niet... Al weet ik al veel, ben ik nog niet in staat het bewijs te geven.
Kan je me misschien verder helpen?

[SafeX]

Het moet zijn drh BDE is rechthoekig in E (drh ABC is rechthoekig in C).
Verder staat BF loodrecht AE.
Ga na: in drh ABE zijn AC en BF hoogtelijnen op resp BE en AE.
Wat is punt K?
Bepaal verder de macht van F tov de halve cirkel ivm GF*GB

[Dylan M]

Ik ben helemaal akkoord met wat je zegt. En het was een typ fout, K moet O zijn waardoor OHFC een koordenvierhoek is ipv KHFC. Sorry, maar ik zie echt niet wat je bedoelt met 'de macht van F tov de halve cirkel'. Ik heb bovendien wel kunnen vinden dat OG²-r² = GF*GB, maar waarschijnlijk bedoelde je dit niet. Toch al bedankt voor de hulp

[SafeX]

Ok, kijk dan nu eens naar de drg OGF, wat is OG²-r²?
Let dan ook op drh BEG, kan je aantonen dat GE²=GF*GB ...

[Dylan M]

Sorry, ik heb nogal lang gezocht, maar ik heb niet veel kunnen vinden. Kan je misschien een tip geven, zoals 'je doet het met de stelling van Pythagoras' of zoiets?
alvast bedankt.

[SafeX]

Bekijk de drh GEB en GFE. Laat zien dat deze drh gelijkvormig zijn en bepaal in beide drh de cos van de grootste scherpe hoek. Wat volgt er ...

[Dylan M]

Ik denk het antwoord te hebben gevonden:

We wisten al dat DG²=GF*GB (1)( def. macht van een punt) en omdat F=E=90° en hoek G=G in drh GEF en drh GBE zijn ze dus gelijkvormig. daaruit volgt dat GB/GE=GE/GF of nog GE²=GB*GF (2) dus uit 1 en 2 volgt dat GE=DG. Anders gezegd loopt BF door het midden van ED.

Maar waarom moet ik dan de cos bepalen of ben ik niet volledig? ik heb misschien nog een laatste vraag heo kan je aantonen dat F=90° want ik weet het wel, maar ik weet niet hoe aantonen.

[SafeX]

Je bent er ... ,OK!

ik heb misschien nog een laatste vraag heo kan je aantonen dat F=90° want ik weet het wel, maar ik weet niet hoe aantonen.

St v Thales: F ligt op de halve cirkel dus <AFB=90.

Maar waarom moet ik dan de cos bepalen of ben ik niet volledig?

cos(<EGB)=GE/BG=GF/GE=cos(<EGF)

Extra: Je kan een soortgelijke uitdrukking vinden voor BE^2 door naar de sin van deze hoeken te kijken in de drh BEG en BFE. Wat volgt dan voor de som: GE^2+BE^2=...

[Dylan M]

AH ja !! Erg bedankt Safex, heel mooi en duidelijk uitgelegd bedankt hè

[SafeX]

OK! Heb je 'extra' nog uitgewerkt?

[Dylan M]

ja, ik denk het toch :

hoekG=hoekE wat volgt uit gelijkvormigheid en sinG=BE/GB en sinE=FB/BE dus is BE/GB=FB/BE of nog BE²=GB*FB en omdat GE²=GF*GB wat eerder werd bewezen is GE²+BE²=GF*FB+GB*FB=FB*(GF+GB).

is het juist?

[SafeX]

Wat denk je zelf ...
Je neemt verkeerd over (daar had je zelf op moeten komen!)

omdat GE²=GF*GB wat eerder werd bewezen is GE²+BE²=GF*FB+GB*FB=FB*(GF+GB).

GE²+BE²=GF*GB+GB*FB=...

[Dylan M]

oei idd sorry dus: GE²+BE²=GB(GF+FB)=GB² maar het was toch gemakkelijker om dit na te gaan mbv Pythagoras?