Roosterpuntdriehoek [15+]

[op=op]

Te bewijzen is dat oplossingen heeft voor elke (u,v,w).

We mogen aannemen dat ggd(u,v,w)=1.
(Stel niet en ggd = k, los dan eerst op voor u/k,v/k.w/k en vermenigvuldig x,y,z met index 1 met k).

We mogen aannemen dat ggd(v,w)=1.
(Stel niet en ggd = k, y2 maal 2-de verg. minus z2 maal 3-de vergelijking geeft dat x2 door k deelbaar is of (zie 1-ste verg. dat u deelbaar is door k (en dat mag niet).
Analoog is x1 deelbaar door k, zodat we eerst u,v/k,w/k oplossen en dan de x1 en x2 met k verm.).

Kies x1=x2=1.
Uit de 3-de verg. volgt y1=y2+w
en uit de 2-de verg. volgt z2 = z1 + v
Substitueren in de eerste verg. geeft vy1 - wz1 = u.
ggd(v,w)=1, zodat er y1 en z1 is zo dat vy1-wz1 = 1.
y1 en z1 met u vermenigvuldigen en de rest is duidelijk.

[barto]

Nice!
Zullen we gewoon aannemen dat het ook klopt voor hogere dimensies of dat ook bewijzen?

[op=op]

Zullen we gewoon aannemen dat het ook klopt voor hogere dimensies of dat ook bewijzen?

Met bedoel ik in het voorgaande 3-dim. geval de kolomvector en in het n-dim. geval .
In 3 dimensies hadden we de vectoren .
In n dimensies noem ik de vectoren .
In dim 3 hadden we nog de getallen , die in n dim. worden .

We maken een speciale vector .

Als we een oplossing in gehele getallen kunnen vinden voor de vectoren
van de matrixvergelijking
, dan zijn we klaar.

Dat is als volgt te zien:
Plaats boven bovengenoemde matrix een rij van enen, en pas de regel van Cramèr toe.
(Noem de onderdeterminant corresponderend met , ).
Dat levert een lineair stelsel op met een vrijheidsgraad.
Een van de oplossingen is en daar alle getallen in de matrix gehele getallen zijn is de matrix zodanig te verminigvuldigen dat aan is voldaan).

[barto]

Analoog aan jouw bewijs, maar niet volledig...
(ook hier ) en we werken in dimensie n.

Te bewijzen is dat

oplossingen heeft voor elke
(Stel voor de gemakkelijkheid de m-de matrix in de n-de dimensie gelijk aan .)

We mogen aannemen dat .
(Stel niet en ggd=m, los dan op voor en vermenigvuldig alle met m, of dus alle met m en je bent klaar.)

Dan bewijs je met inductie dat je mag aannemen dat met m afdalend vanaf n-1 tot 2.
Stel dat het waar is voor m. (En neem zonder verlies van algemeenheid .)
Stel dat het niet waar is voor m-1, dus met p een priemgetal.
...: de grootste stap in het inductie-gedeelte. Het komt er op neer dat je probeert te bewijzen dat er nog minstens één van deelbaar is door p. Ik geraak er niet (onmiddellijk) uit, maar het moet ook iets zijn zoals op=op deed.

[op=op]

Wat bewezen moet worden is dat er bij elke gegeven n-dim. vector b van gehele getallen
er een (n-1)xn matrix van gehele getallen A bestaat zo dat Ab=0.

Je hebt zoveel keuze dat ik vermoed dat het altijd kan.

[barto]

Je hebt zoveel keuze dat ik vermoed dat het altijd kan.

Zo dacht ik er ook over.
Nu hebben we het nog niet gehad over de situatie waar meer dan 2 punten gegeven zijn.
Neem de punten (0,0), (a,b), (c,d) en we willen de inhoud van het viervlak door (x,y) minimaliseren, i.f.v (a,b,c,d).

[barto]

Nu hebben we het nog niet gehad over de situatie waar meer dan 2 punten gegeven zijn.
Neem de punten (0,0), (a,b), (c,d) en we willen de inhoud van het viervlak door (x,y) minimaliseren, i.f.v (a,b,c,d).

Neem maar 3 coördinaten per punt, dat zal beter zijn.
Maar het komt niet mooi uit:
Te minimaliseren is

Wat geeft als minimum

[barto]

Het algemene probleem (met twee vaste punten, maar in een willekeurige dimensie) heb ik hier gepost en ondertussen zelf ook kunnen oplossen
http://math.stackexchange.com/questions/1411324