Roosterpuntdriehoek [15+]

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 654
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door barto » 03 sep 2012, 13:15

Een driehoek wordt in het vlak gevormd door twee vaste roosterpunten, en , en een derde variabel roosterpunt, . Wat is, in functie van en , de minimale waarde dat de oppervlakte van kan aannemen?
(Dus en .)

De vraag is een veralgemening van Vraag 25, Ronde 2 van de Vlaamse Wiskunde Olympiade van 1987.
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door wnvl » 03 sep 2012, 17:58

Eerste idee.

Het minimum van



met k en l geheel. Het minimum moet wel groter dan 0 zijn.

ggd(a,b)/2 ?

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door op=op » 03 sep 2012, 18:29

Ik heb geen idee wat je met bedoelt.

min(a,b)/2.

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 654
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door barto » 03 sep 2012, 18:49

: de gehele getallen zonder 0...
wnvl: ggd(a,b)/2 is goed.

Zelfde vraag voor een viervlak: O(0,0,0) en P(a,b,c) liggen vast en Q,R zijn variabele roosterpunten. Wat is de minimale inhoud van OPQR? (a,b,c verschillend van 0)

En wat voor OPQRS?
(misschien komt die inhoudsformule van hier nog van pas, ik weet het zelf niet: viewtopic.php?f=13&t=5758)
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

toonijn
Vast lid
Vast lid
Berichten: 51
Lid geworden op: 01 feb 2012, 14:30
Contacteer:

Re: Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door toonijn » 03 sep 2012, 21:07


Als we hier kunnen uitgaan van een 3-voudige lineaire combinatie is her resultaat dus:
Je kunt een probleem niet oplossen met de denkwijze die het heeft veroorzaakt. ~ A. Einstein

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 654
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door barto » 04 sep 2012, 16:57

akkoord, en eenvoudig uitbreidbaar naar hogere dimensies. 8)
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

toonijn
Vast lid
Vast lid
Berichten: 51
Lid geworden op: 01 feb 2012, 14:30
Contacteer:

Re: Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door toonijn » 04 sep 2012, 17:06

Om uit te gaan van 3-voudig lineair combineren, klein bewijsje:

ggd(a,b,c) = ggd(ggd(a,b), c) = ggd(xa+yb, c) (met xa+by de kleinste lineaire combinatie)
= z(xa+yb) + uc
= zxa + zyb + uc
= (hernoemen)
Je kunt een probleem niet oplossen met de denkwijze die het heeft veroorzaakt. ~ A. Einstein

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door wnvl » 04 sep 2012, 17:16

toonijn schreef: = zxa + zyb + uc
= (hernoemen)
Ik zeg niet dat het verkeerd is (ik weet het niet).

Maar die laatste stap lijkt mij louche.

x_1=zx en x_2=zy

x_1 en x_2 moeten dus een veelvoud zijn van z en zijn niet vrij te kiezen.

toonijn
Vast lid
Vast lid
Berichten: 51
Lid geworden op: 01 feb 2012, 14:30
Contacteer:

Re: Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door toonijn » 04 sep 2012, 17:32

wnvl schreef:x_1=zx en x_2=zy

x_1 en x_2 moeten dus een veelvoud zijn van z en zijn niet vrij te kiezen.
Analoog zou je evengoed kunnen stellen dat x_2 en x_3 veelvouden moeten zijn, of x_1 en x_3

Het zegt ook niet wat x_1, x_2 en x_3 zijn. Het zegt dat er bestaan waarbij de ggd verkregen wordt.

Bij een gewone lineaire combinatie zijn x en y (in ggd(a,b)=ax+by) ook niet vrij te kiezen. Het zegt dat er bestaan.
Je kunt een probleem niet oplossen met de denkwijze die het heeft veroorzaakt. ~ A. Einstein

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door wnvl » 04 sep 2012, 17:55

toonijn schreef:
Als we hier kunnen uitgaan van een 3-voudige lineaire combinatie is her resultaat dus:

Wat ik wil bedoelen is dat er een verband bestaat tussen de coëfficiënten van a, b en c in de lineaire combinatie. Doordat in de determinanten dezelfde getallen terugkomen. Dit verhindert misschien dat het mogelijk is om de ggd te vormen. Dat ontbreekt m.i. in je bewijs.

toonijn
Vast lid
Vast lid
Berichten: 51
Lid geworden op: 01 feb 2012, 14:30
Contacteer:

Re: Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door toonijn » 04 sep 2012, 18:23

Ja 'k begrijp wat je wilt zeggen. Is er een mogelijkheid om dit probleem te verhelderen?
Je kunt een probleem niet oplossen met de denkwijze die het heeft veroorzaakt. ~ A. Einstein

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 654
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door barto » 04 sep 2012, 19:48

ggd(a,b,c)|xa+yb+zc : triviaal toch?
Voor een streng bewijs:
ggd(a,b,c)|ggd(a,b)|xa+yb dus ggd(a,b,c)=ggd(ggd(a,b),c)|ggd(xa+yb,c)|xa+yb+zc
Want dat laatste is een lineaire combinatie van xa+yb en c.

Dit geeft echter geen antwoord op het tweede probleem...
Te bewijzen is dat oplossingen heeft voor elke (u,v,w).
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door wnvl » 04 sep 2012, 20:21

barto schreef: Te bewijzen is dat oplossingen heeft voor elke (u,v,w).
Met alle variabelen gehele getallen.

Dat is inderdaad de kern van het probleem.
Ik heb geen idee hoe je dit aanpakt.

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 654
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door barto » 04 sep 2012, 20:58

Neem , , ... dus je geeft alle mogelijke producten (3*2=6) een naam.
Dat geeft een nieuw, lineair stelsel in en heeft oneindig veel oplossingen in gehele getallen.
Op te lossen is nu

voor minstens één waarde van (f_1,...,f_6).

Als dit de goede richting uitgaat, tenminste.
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 654
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: Roosterpuntdriehoek [15+]

Bericht door barto » 05 sep 2012, 12:46

De oplossing voor dat laatste is en dat geeft geen oplossing. Analoog voor de andere variabelen, dus dit is een dood spoor.



dus, , , en analoog voor v,w.
Nu moet het verder gaan met deelbaarheid, aangenomen dat au+bv+cw=ggd(a,b,c).
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

Plaats reactie