Kansberekenen

[michelhubert]

Hallo,

Ik probeer een formule te bepalen voor het bereken van de kans ergens op. Maar voor mij is het al te lang geleden om er helemaal uit te komen, hopelijk kan iemand mij hier helpen.

Als de kans op falen van 1 onderdeel van een systeem is 1/x.
En indien in 1 onderdeel van het systeem faalt, faalt het hele systeem.
Wat is de kans dat het gehele systeem faalt gegeven n onderdelen.

Ik ben niet verder gekomen dan onderstaande formule:


Kan iemand mij verder helpen?

[barto]

Wat is de kans dat het systeem niet faalt?

Dus wat is dan de kans dat het systeem wel faalt?

[David]

Daarbij:
Hoe ben je aan je formule gekomen?

[michelhubert]

Laat ik 't anders formuleren.
Stel er een dobbelsteenspel waarbij je wint als je tenminst 1x een zes gooit.
De kans met 1 dobbelsteen is dan 1/6.
De kans met 2 dobbelstenen is dan 11/36.
Met 3 dobbelstenen is het dan 91/216.

Ik heb dit uitgerekend door bij 2 dobbelstenen een 2 dimensionele matrix voor te stellen. Die heeft 36 vakjes en langs de assen 11 vakjes (12 - 1 dubbel).
En bij 3 dobbelstenen heb je een kubus met 216 vakjes. En langs de 3 assen 91 vakjes.

Maar is de formule? Ook als je het aantal zijden van de 'dobbelstenen' veranderd.

Ik dacht;
Laat x = het aantal zijden van de 'dobbelsteen' zijn.
Laat n = het aantal 'dobbelstenen' zijn.

Totaal aantal combinaties is dan natuurlijk:


Het aantal 'vakjes' langs de assen:


Maar dan tel je een aantal vakken dubbel en daarvoor moet er nog wat afgetrokken worden. Ik dacht eerst:

Maar dat klopt niet.

Kan iemand mij op uitleggen wat de formule is?

[arie]

Voor 2 dobbelstenen heb je de uitkomsten weergegeven in een 2 dimensionaal rooster.
Laat het aantal ogen lopen van nul t/m 5, dan heb je als uitkomsten:
(0,0), (1,0), ... , (5,0)
(0,1), (1,1), ... , (5,1)
...
(0,5), (1,5), ... , (5,5)
Nu wil je het aantal punten weten waarvan ten minste 1 van de coordinaten nul is.
Jij hebt de assen geteld: 2*6 = 12 punten, maar dan tel je (0,0) dubbel, dus 1 er af:
2*6 - 1 = 11.
Dit werkt prima, maar het kan eenvoudiger:
je kan ook anders tellen (dit is waar barto hierboven al op doelde):
In totaal heb je 6^2 punten.
Hiervan zijn er 5^2 zonder coordinaat nul, namelijk het vierkant:
(1,1), ... , (5,1)
...
(1,5), ... , (5,5)
Het aantal punten met ten minste 1 coordinaat nul is dus
6^2 - 5^2 = 36 - 25 = 11

Kan je deze laatste telmethode uitbreiden naar 3D ?
En in het algemeen naar n dobbelstenen elk met x vlakken?
Kloppen de getallen nu?