omgekeerde som

[David]

Gevonden en aan gewerkt op een ander forum, iets aangepast:

a, b, c, d en e zijn natuurlijke getallen (1, 2, 3, ...)
a < b < c < d < e
Er geldt:
i) Wat is het minimum van a + b + c + d + e?; 38
ii) Wat is het maximum van a + b + c + d + e?; 1861
iii) Hoeveel sets {a, b, c, d, e} zijn er?; 72

[op=op]

De minimale som is 38.

Er is vermoedelijk geen maximale som.

[David]

Voor de maximale som wil je a, b, c en d zo klein mogelijk houden zodat e zo groot mogelijk wordt.

[Sjoerd Job]

Het aantal quintuples is eindig. Er geld namelijk dat

1 < a < 5.
a < b < 4 / (1-1/a)
b < c < 3 / (1-1/a-1/b)
c < d < 2 / (1-1/a-1/b-1/c)
d < e = 1 / (1-1/a-1/b-1/c-1/d)

Om de minimale en maximale som te berekenen zou je alle mogelijkheden kunnen/moeten uitschrijven. Dan heb je ook meteen het aantal.

[op=op]

Dan is a<4
Voor a=3 is er precies 1 oplossing

hetgeen men makkelijk naloopt, daar in dit geval a=3, b=4, c=5 moet zijn.
Dan moet
De oplossingen hiervan kun je als volgt berekenen.

Dan is
en dus

Met wordt dit

x moet dus een deler zijn van 3600.
Daarmee vindt je alle mogelijke oplossingen.
k=5,d=60,e=5 (valt af daar d<e)
k=18,e=20,e=6 (valt af daar d<e)
k=200,d=6,e=20
k=720,d=5,e=60 (valt af daar c<d)

Verder kan alleen a=2.

[David]

De maximale som kan ook worden gevonden door te gebruiken.

[Sjoerd Job]

De maximale som kan ook worden gevonden door te gebruiken.

1 =
1/2 + 1/2 =
1/2 + 1/3 + 1/6 =
1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 =
1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806

bedoel je? met 2 + 3 + 7 + 43 + 1806 = 1861?

zo 1-2-3 lijkt me het meer een truje dat op toeval berust, maar ik heb me nog niet helemaal hierin verdiept.

[op=op]

zo 1-2-3 lijkt me het meer een trucje dat op toeval berust, maar ik heb me nog niet helemaal hierin verdiept.

Het klopt als je er van uit gaat (waar is het bewijs?) dat voor een maximale som moet gelden
a minimaal.
b minimaal, gegeven dat a minimaal is.
c minimaal onder de voorgaande voorwaarden
d minimaal onder de voorgaande voorwaarden.

[David]

Klopt, 1861 is de maximale som. Het bewijs rust op het idee dat op=op heeft gepost. Ik had eerst het bereik gevonden en code voor het aantal quintuplets toen ik dat verband zag. Je kan ook schrijven:
a = 2 (minimum voor a)
b = a + 1
c = a * b + 1
d = a * b * c + 1
e = a * b * c * d
Ik weet nog niet hoe je het aantal quintuplets kan vinden met de hand zonder inspectie "met de hand". Inspectie is zo wel tijdrovend.