Kromme

Dux · Bericht door **Dux** » 19 apr 2013, 14:24

Het resultaat van een wiskundeles met niets te doen:

Een set lijnen snijdt de positieve y-as in a en de positieve x-as in b, zodat a+b=c (c is gelijk voor elke lijn uit de set). Samen benaderen deze lijnen een kromme (rood):
Afbeelding

Wat voor een kromme is dit?

Bericht door **op=op** » 19 apr 2013, 17:55

$f(x) = x+c-2\sqrt{cx}$ voor $x\in [0,c]$

Dux · Bericht door **Dux** » 19 apr 2013, 18:04

Die formule heb ik inderdaad ook gevonden, maar wat voor een kromme is dat? (bijvoorbeeld: cirkelsegment)

Bericht door **arno** » 19 apr 2013, 21:24

Dux schreef:Die formule heb ik inderdaad ook gevonden, maar wat voor een kromme is dat? (bijvoorbeeld: cirkelsegment)

Stel het linkerlid y en kwadrateer vervolgens beide leden. Kun je nu achterhalen wat voor soort kromme dit is?

Dux · Bericht door **Dux** » 20 apr 2013, 09:30

$y=x+c-2\sqrt{cx}$
$y^2=x^2+c^2+6cx-4x\sqrt{cx}-4c\sqrt{cx}$

Geen idee hoe ik op deze manier verder zou gaan: $\sqrt{cx}$ wegwerken zorgt alleen maar voor meer termen die niet makkelijk weg zijn te werken...

Bericht door **op=op** » 20 apr 2013, 09:43

De wortel naar een kant brengen en de rest naar de andere kant.
Vervolgens kwadrateren.

Dux · Bericht door **Dux** » 20 apr 2013, 10:22

$y^2=x^2+c^2+6cx-4x\sqrt{cx}-4c\sqrt{cx}$

$\sqrt{cx}=\frac{x^2-y^2+c^2+6cx}{4(c+x)}$

$cx=\frac{x^4-2x^2y^2+2c^2x^2+12cx^3+y^4-2c^2y^2-12cy^2x+c^4+12c^3x+36c^2x^2}{16(c^2+2cx+x^2)}$

$16c^3x+32c^2x^2+16cx^3=x^4-2x^2y^2+2c^2x^2+12cx^3+y^4-2c^2y^2-12cy^2x+c^4+12c^3x+36c^2x^2$

$4c^3x+4cx^3=x^4-2x^2y^2+y^4-2c^2y^2-12cy^2x+c^4+6c^2x^2$

Bericht door **op=op** » 20 apr 2013, 11:13

Je moet natuurlijk starten met
$y=x+c-2\sqrt{cx}$
en niet met
$y^2=x^2+c^2+6cx-4x\sqrt{cx}-4c\sqrt{cx}$

Dux · Bericht door **Dux** » 20 apr 2013, 12:59

op=op schreef:Je moet natuurlijk starten met
$y=x+c-2\sqrt{cx}$
en niet met
$y^2=x^2+c^2+6cx-4x\sqrt{cx}-4c\sqrt{cx}$

Dat deed ik vanwege:

arno schreef: Stel het linkerlid y en kwadrateer vervolgens beide leden. Kun je nu achterhalen wat voor soort kromme dit is?

Maar dan wordt het

$\sqrt{cx}=\frac{x+c-y}{2}$

$cx=\frac{x^2+2cx-2xy+c^2-2cy+y^2}{4}$

$x^2-2cx-2xy+c^2-2cy+y^2=0$

$(x-y)^2-2cx-2cy+c^2=0$

omdat

wikipedia schreef:The general form for a parabola is
$(\alpha x+\beta y)^2+\gamma x+\delta y+\epsilon$

trek ik de conclusie dat het een parabool is.

Bericht door **arno** » 20 apr 2013, 17:06

Een parabool heeft de gedaante (y-a)² = 2p(x-b) of (x-a)² = 2p(y-b), maar zeker niet de gedaante die Wikipedia noemt. Schrijf de verkregen uitdrukking eens in de gedaante (x-...)²+(y-...)² = ... Wat voor kromme heb je dus?

Dux · Bericht door **Dux** » 20 apr 2013, 19:18

$x^2-2cx+y^2-2cy-2xy+c^2=0$

$(x-c)^2+(y-c)^2=c^2+2xy$

Dit is geen cirkel omdat c^2+2xy niet constant is...

Bericht door **SafeX** » 20 apr 2013, 19:41

Dux schreef:Het resultaat van een wiskundeles met niets te doen:

Een set lijnen snijdt de positieve y-as in a en de positieve x-as in b, zodat a+b=c (c is gelijk voor elke lijn uit de set). Samen benaderen deze lijnen een kromme (rood):

Wat voor een kromme is dit?

Laat eens zien hoe je de vergelijking gevonden hebt ...

Dux · Bericht door **Dux** » 21 apr 2013, 10:43

SafeX schreef:
Laat eens zien hoe je de vergelijking gevonden hebt ...

De lijnen voldoen aan de vergelijking:

$y=-\frac{a}{b}x+a$

b=10-a geeft

$y=-\frac{a}{c-a}x+a$

Herschrijven:

$y=\frac{(c-x)a-a^2}{c-a}$

Differentiëren naar a (om de a te krijgen waarvoor y maximaal is):

$\frac{\delta y}{\delta a}=\frac{(c-a)(c-x-2a)+(c-x)a-a^2}{(c-a)^2}$

Gedifferentiëerde functie gelijkstellen aan 0 (teller=0):

$(c-a)(c-x-2a)+(c-x)a-a^2=0$

Herschrijven:

$c^2-cx-2ac-ac+ax+2a^2+ac-ax-a^2=0$

$a^2-2ac+c^2-cx=0$

abc-formule:

$a=\frac{2c-\sqrt{4c^2-4(c^2-cx)}}{2}=c-\sqrt{cx}$

(alleen de a-waarde lager dan c is nu belangrijk)

a-waarde invullen in oorspronkelijke vergelijking:

$y=-\frac{ax}{c-a}+a=-\frac{(c-\sqrt{cx})x}{c-(c-\sqrt{cx})}+c-\sqrt{cx}=-\frac{cx}{\sqrt{cx}}+x+c-\sqrt{cx}$

Dit geeft de vergelijking

$y=x+c-2\sqrt{cx}$

Bericht door **barto** » 21 apr 2013, 10:56

Hé, tof gedaan!
Ik was zelf begonnen met de functie $f(x)$ te stellen, en dan eisen dat de snijpunten van de raaklijnen abscissen geven met som c, zodat je $x-\frac{f(x)}{f'(x)}+f(x)-f'(x)*x=c$ als voorwaarde krijgt maar dat vond ik een wat lastige differentiaalvergelijking...
Je kan wel de hele boel afleiden en dan krijg je $f(x)=x(f'(x))^2$ na vereenvoudigen (en in de veronderstelling dat $f''(x)\neq0$ ).
Maar daar stopte het voor mij.

Dux · Bericht door **Dux** » 21 apr 2013, 12:01

Ik zocht op wikipedia niet voor niets om de formule voor juist een parabool:

Ik stel voor dat de kromme een parabool is met F(c/2,c/2) en richtlijn y=-x. Weet iemand hoe je zoiets zou kunnen aantonen?

Waarom denk ik dat het een parabool is? Ik heb hetzelfde rekenwerk gedaan voor het 45 graden naar links gedraaide stelsel en kreeg:

$y=\frac{x^2}{c\sqrt{2}}+\frac{c}{2\sqrt{2}}$

@barto: Ik kon je nog net volgen, maar netjes gedaan.

@op=op: Zelfde of andere werkwijze?

Wiskundeforum

Kromme

Kromme

Re: Kromme

Re: Kromme

Re: Kromme

Re: Kromme

Re: Kromme

Re: Kromme

Re: Kromme

Re: Kromme

Re: Kromme

Re: Kromme

Re: Kromme

Re: Kromme

Re: Kromme

Re: Kromme