gewichtjes combineren

[waaromwiskunde]

Stel dat we een standaard balans hebben maar slechts tussen drie controlegewichten mogen kiezen: 6kg, 9kg en 20kg. We mogen dan wel maar kiezen tussen drie verschillende, maar er zijn er wel zoveel me maar nodig hebben...

Als we 41kg na willen wegen combineren we bijvoorbeeld twee gewichten van 6kg, één van 9kg en één van 20kg want 6+6+9+20=41. Als we 100 kilo willen bepalen, nemen we 5 keer een gewichtje van 20kg want 20+20+20+20+20=100,…….

Nu kunnen we bepaalde gewichten niet meer exact bepalen! Een product dat 13kg weegt kunnen we bijvoorbeeld niet meer correct nawegen met onze beperkte keuze van gewichtjes. Ook 22kg, kunnen we niet meer bekomen door het combineren van onze gewichtjes…
De vraag is het volgende: Wat is het maximum gewicht (als dat al bestaat) dat we niet meer kunnen wegen met onze beperkte keuze aan gewichten?

Er staan nog 2 soortgelijke vragen op de blog waaromwiskunde.wordpress.com

[Brent]

Een gewicht is te bepalen als het voldoet aan waarbij
Een gewicht waarvoor geldt dat voor zekere is dus niet te bepalen met de gewichten.

Er is geen maximum gewicht, want je kunt naar oneindig sturen en zal dan nog steeds niet te bepalen zijn met die gewichten.

Zoiets? Dit is geen hard bewijs, maar ik weet niet of dat de bedoeling was.

[barto]

, is wel te bepalen hoor, het is . (En zo zijn er nog heel wat voorbeelden.)
Het maximum bestaat wel.

[Brent]

Dat had ik over het hoofd gezien. Ik dacht veel te makkelijk.
Waarom is er wel een maximum?

[barto]

Elk getal kan geschreven worden als met en geheel (eventueel negatief): neem en bijvoorbeeld.

Noem het quotiënt en rest van bij deling door , en die van bij deling door . Dan is . Voor n groot genoeg is positief, want is maximaal . Dus , en we hebben twee positieve getallen en zodat .

Dus ook , als groot genoeg is.

(Dit had ik niet meteen bedacht, maar ik wist al dat er een maximum bestaat omdat dit een gekend probleem is, het frobeniusgetal. En toen je vroeg waarom, bedacht ik deze uitleg...)

Nu moet je nog zoeken naar het maximum natuurlijk.

[David]

Een product dat 13kg weegt kunnen we bijvoorbeeld niet meer correct nawegen met onze beperkte keuze van gewichtjes.

Waarom niet? Aan de ene kant, leg twee gewichten van 20 kilo, aan de andere kant drie gewichten van 9 kilo en het product. Is er balans, dan is het product 13 kg.

[David]

Kom ik toevallig nu dit filmpje tegen
http://www.youtube.com/watch?v=vNTSugyS038

[Brent]

Kom ik toevallig nu dit filmpje tegen
http://www.youtube.com/watch?v=vNTSugyS038

Haha, hier wist ik helemaal niet vanaf. Leuk om zoiets te zien.

[waaromwiskunde]

Een product dat 13kg weegt kunnen we bijvoorbeeld niet meer correct nawegen met onze beperkte keuze van gewichtjes.

Waarom niet? Aan de ene kant, leg twee gewichten van 20 kilo, aan de andere kant drie gewichten van 9 kilo en het product. Is er balans, dan is het product 13 kg.

Inderdaad, maar het leek me logisch uit de vraagstelling dat je gewichtjes aan dezelfde zeide toevoegd,... Anders zou het probleem nogal snel op te lossen zijn... Dan kan je steeds telkens je in de "controle"schaal 6+6+9=21 kilo legt, in "de-te-wegen-schaal" 20 kilo bijleggen, en zo met stapjes van 1 kilo naar je gewicht zoeken... En dat is een beetje een flauwe oplossing.

Kom ik toevallig nu dit filmpje tegen
http://www.youtube.com/watch?v=vNTSugyS038

Vanwaar de shockende smiley? het probleem bestaat inderdaad al. Het is gebaseerd op het Frobenius-probleem, en deze Specifieke toepassing bestaat al sinds de jaren 80... Ik zou eerder geshocked zijn als er nog geen you-tube filmpje van zou bestaan .
Ik had mijn inspiratie echter elders gehaald... Hoewel ik het gros van de numberphile-filmpjes wel al bekeken heb hoor, deze zijn trouwens aanraders voor wiskunde-fans.

[David]

Inderdaad, maar het leek me logisch uit de vraagstelling dat je gewichtjes aan dezelfde zeide toevoegd,... Anders zou het probleem nogal snel op te lossen zijn... Dan kan je steeds telkens je in de "controle"schaal 6+6+9=21 kilo legt, in "de-te-wegen-schaal" 20 kilo bijleggen, en zo met stapjes van 1 kilo naar je gewicht zoeken... En dat is een beetje een flauwe oplossing.

Zo wordt het "logisch" uit de oplossing in de zin dat het flauw is, maar niet uit de formulering. Maar dan moet je het vraagstuk oplossen om erachter te komen dat dat waarschijnlijk niet is wat je bedoelt. Het "interpreteren" van de vraag gaat denk ik ook tegen het "out of de box denken" in, andere oplossingen voor vraagstukken bedenken dan de technieken die je hebt geleerd.

Vanwaar de shockende smiley?

Toen ik had gepost wilde ik wat muziek gaan luisteren. Ik had ook een aantal keer een numberphile filmpje gekeken, dus bij de suggesties stond een numberphile filmpje. Ik was benieuwd naar het verband tussen nuggets en het getal 43 (ik kende de oplossing voor de vraag met gewichten aan een kant niet) en bekijk het filmpje. Een tijdje in het filmpje komt de oplossing voor je vraagstuk naar voren. Door dit toeval de

[David]

Haha, hier wist ik helemaal niet vanaf. Leuk om zoiets te zien.

Ik ook niet, niet over nagedacht