Substitutie

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.
Plaats reactie
LB12
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 26 nov 2019, 13:38

Substitutie

Bericht door LB12 » 03 dec 2019, 01:17

Vroeger regelmatig gehad, maar ik kom er nu toch even niet uit.
Ik moet voor Xa, Xb en Xc een waarde uitrekenen.
Er moet namelijk een portfolio weight uitkomen van Xabc=1. Hoe de spreiding ligt van Xa, Xb en Xc om op X=1 te komen, moet middels substitutie uitgerekend worden.
Ik weet de antwoorden wel, maar ik begrijp de uitvoering niet.

-->Zie hieronder de vergelijkingen:

1Xa + 3Xb + 1.5Xc = 2
-4Xa + 2Xb + 0Xc = 1

-->Vervolgens zegt het boek dat Xc gesubstitueerd wordt. Dan krijgen we het volgende (ik begrijp niet hoe zij dit uitvoeren):

1Xa + 3Xb + 1.5(1-Xa-Xb) = 2
-4Xa + 2Xb = 1

-->Vervolgens doen ze het volgende om Xa uit te rekenen:

-4Xa + 2/3(Xa + 1) = 1

Volgens het boek heeft Xa = -0.1 als oplossing (Ik begrijp wel hoe Xa =0.1 tot stand komt, maar niet hoe deze vergelijking tot stand komt).

--> Vervolgens doen ze het volgende om Xb uit te rekenen:
Xb = ((Xa + 1) / 3)
Xb = ((-0.1+1) / 3)
Xb = ((0.9) / 3)
Xb= 0.3

Wederom, ik begrijp hoe ik Xb=0.3 tot stand komt, maar niet hoe de formule tot stand komt.

--> Tot slot is het wel logisch dat Xc = 0.8 is, aangezien de portfolio weight tezamen Xabc = 1 moet zijn. (Aangezien Xa= -0.1 en Xb = 0.3 is. Dit is tezamen 0.2, dus Xc moet 0.8 zijn om 1 te vormen).

Heel hartelijk dank voor de uitleg over hoe de formules tot stand komen.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3283
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Substitutie

Bericht door arie » 03 dec 2019, 08:39

LB12 schreef: ...Er moet namelijk een portfolio weight uitkomen van Xabc=1. Hoe de spreiding ligt van Xa, Xb en Xc om op X=1 te komen, moet middels substitutie uitgerekend worden.
Ik verwacht dat ze hier bedoelen dat
Xa + Xb + Xc = 1
moet zijn.

Samen met
1Xa + 3Xb + 1.5Xc = 2
-4Xa + 2Xb + 0Xc = 1
heb je dan een stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden.

LB12 schreef: -->Vervolgens zegt het boek dat Xc gesubstitueerd wordt. Dan krijgen we het volgende (ik begrijp niet hoe zij dit uitvoeren):
Herschrijf de eerste vergelijking
Xa + Xb + Xc = 1
als (trek links en rechts Xa + Xb af):
Xc = 1 - Xa - Xb
en vul dit resultaat voor Xc in in de overige 2 vergelijkingen:
1Xa + 3Xb + 1.5(1-Xa-Xb) = 2
-4Xa + 2Xb + 0(1-Xa-Xb) = -4Xa + 2Xb = 1

We hebben nu 2 vergelijkingen met 2 onbekenden (Xa en Xb).
Werk de eerste daarvan uit:
1Xa + 3Xb + 1.5(1-Xa-Xb) = 2
Xa + 3Xb +1.5 - 1.5Xa -1.5Xb = 2
-0.5Xa + 1.5Xb = 0.5
ofwel (vermenigvuldig links en rechts met 2):
-Xa + 3Xb = 1
ofwel (tel links en rechts Xa op):
3Xb = Xa + 1
ofwel (deel links en rechts door 3):
Xb = (1/3)(Xa+1)
(***)

Vul dit resultaat voor Xb nu in in de tweede vergelijking van het stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden:
-4Xa + 2Xb = 1
wordt dan:
-4Xa + 2*(1/3)(Xa+1) = 1
ofwel
-4Xa + (2/3)(Xa+1) = 1
ofwel (vermenigvuldig links en rechts met 3):
-12Xa + 2(Xa+1) = 3
-12Xa + 2Xa + 2 = 3
-10Xa = 1
Xa = -0.1

Boven de aanduiding (***) hadden we Xb uitgedrukt in Xa.
Omdat we Xa nu kennen (Xa=-0.1), kunnen we Xb daarmee bepalen:
Xb = (1/3)(Xa+1)
en
Xa = -0.1
levert:
Xb = (1/3)(-0.1+1) = (1/3)(0.9) = 0.3

En helemaal in het begin hadden we de vergelijking
Xa + Xb + Xc = 1
herschreven als
Xc = 1 - Xa - Xb
Omdat we nu Xa en Xb kennen kunnen we ook Xc bepalen:
Xc = 1 + 0.1 - 0.3 = 0.8

Het stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden hebben we dus opgelost door er eerst een stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden van te maken (substitutie van Xc),
daarna 1 vergelijking met 1 onbekende (substitutie van Xb),
hieruit Xa bepaald,
terug naar het stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden om ook Xb te bepalen,
en terug naar het stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden om ook Xc te bepalen,

LB12
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 26 nov 2019, 13:38

Re: Substitutie

Bericht door LB12 » 03 dec 2019, 15:29

Super uitleg. Daar was ik zelf niet op gekomen;). Hartelijk dank!

Plaats reactie