Algebra

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.
Plaats reactie
pinksweatpants
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 22 aug 2014, 15:33

Algebra

Bericht door pinksweatpants » 22 aug 2014, 15:47

Ik ben een studente industrieel ingenieur en in januari ben ik gebuisd voor mijn examen Algebra, bijgevolg moet ik nu een herexamen maken. Nu heb ik de vragen van in januari kunnen bemachtigen maar zelfs met mijn boek erlangs ben ik niet in staat om de examenvragen op te lossen. Zou iemand mij kunnen helpen met dit -toch wel serieuze- probleem?

Vraag 1
Gegeven is een orthonormaal rechtsdraaiend assenstelsel in IR3.
Gegeven is het vlak α met vergelijking –x+y+z=1 en in dit vlak de punten A(1,1,1) en B(0,0,1).
Bereken alle punten C in IR3 die op een afstand 2 verwijderd zijn van α.
Bereken alle punten D in IR3 zodat de driehoek ABD rechthoekig is in A.
Gegeven de vectoren (v_1 ) ⃗= (OA) ⃗ ; (v_2 ) ⃗= (OB) ⃗ ; (v_3 ) ⃗= 2.(OA) ⃗-(OB) ⃗ ; (v_4 ) ⃗=3.(OB) ⃗-5.(OA) ⃗. Stel H de ruimte voortgebracht door deze vier vectoren.
Bepaal een basis voor H en bepaal de cartesische vergelijking van H.

Vraag 2
Gegeven is een orthonormaal rechtsdraaiend assenstelsel in IR3. Beschouw een as in het xy-vlak die door de oorsprong gaat en een hoek van 60° maakt met de positieve x-as (in tegenwijzerzin, naar de positieve y-as toe). De driedimensionale ruimte wordt geroteerd over een hoek van 45° rond die as (= in tegenwijzerzin, je staat op een punt met positieve coördinaten van die as, je kijkt naar de oorsprong en je roteert in tegenwijzerzin ). Bereken de bijhorende matrix ten opzichte van de eenheidsbasis.

Vraag 3
Gegeven is het vlak α met vergelijking –x+y+3z=0 in IR3. Beschouw de lineaire transformatie T die een willekeurige vector uit IR3 spiegelt ten opzichte van dat vlak α.
Bepaal de matrix A van deze transformatie ten opzichte van de eenheidsbasis.
Diagonaliseer, indien mogelijk, deze matrix A.

Alvast heel erg bedankt (:

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14242
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Algebra

Bericht door SafeX » 22 aug 2014, 16:00

pinksweatpants schreef: Vraag 1
Gegeven is een orthonormaal rechtsdraaiend assenstelsel in IR3.
Gegeven is het vlak α met vergelijking –x+y+z=1 en in dit vlak de punten A(1,1,1) en B(0,0,1).
Bereken alle punten C in IR3 die op een afstand 2 verwijderd zijn van α.
Bereken alle punten D in IR3 zodat de driehoek ABD rechthoekig is in A.
Gegeven de vectoren (v_1 ) ⃗= (OA) ⃗ ; (v_2 ) ⃗= (OB) ⃗ ; (v_3 ) ⃗= 2.(OA) ⃗-(OB) ⃗ ; (v_4 ) ⃗=3.(OB) ⃗-5.(OA) ⃗. Stel H de ruimte voortgebracht door deze vier vectoren.
Bepaal een basis voor H en bepaal de cartesische vergelijking van H.
Eén vraag tegelijk!

Heb je gecontroleerd of A en B in het vlak liggen?

Wat denk je zelf van de vraag: (bedoel je met IR3, gewoon R3)
Bereken alle punten C in IR3 die op een afstand 2 verwijderd zijn van α.
En wat van de volgende vraag:
Bereken alle punten D in IR3 zodat de driehoek ABD rechthoekig is in A.
Kan je een rv (richtingsvector) van AB bepalen?

pinksweatpants
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 22 aug 2014, 15:33

Re: Algebra

Bericht door pinksweatpants » 23 aug 2014, 10:20

''Bereken alle punten C in IR3 die op een afstand 2 verwijderd zijn van α.''
Ik dacht de formule voor de afstand van een punt tot een vlak te gebruiken dus
d(alpha,C)= [abs(-xc+yc+zc-1)]/[wortel((-1)^2+1^2+1^2) = 2
En aangezien A en B in vlak alpha liggen zal C ook op een afstand 2 verwijderd zijn van zowel A als B. Daarom heb ik voor A en B de formule van afstand van een punt tot een punt toegepast.
d(A,C) = wortel[(1-xc)^2+(1-yc)^2+(1-zc)^2] = 2
d(A,B) = wortel[(0-xc)^2+(0-yc)^2+(1-zc)^2] = 2
Deze dacht ik daarna samen te zetten en door mijn rekenmachine te halen maar ik bekom geen uitkomst..

pinksweatpants
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 22 aug 2014, 15:33

Re: Algebra

Bericht door pinksweatpants » 23 aug 2014, 10:25

"Bereken alle punten D in IR3 zodat de driehoek ABD rechthoekig is in A"

Ja, je kan een richtingsafgeleide van AB bepalen, nl B-A=(0,0,1)-(1,1,1)=(-1,-1,0) of als je wil (1,1,0)

Dit is mijn denkwijze tot dusver over deze vraag:

Als driehoek ABD rechthoekig wil zijn in A kan Phytagoras toegepast worden dus d(AB)^2 + d(AD)^2 = d(BD)^2
waarbij d(A,B)=wortel[1^2+1^2+0]=wortel(2)
Hoe ik eventueel verder kan werken zie ik niet..

pinksweatpants
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 22 aug 2014, 15:33

Re: Algebra

Bericht door pinksweatpants » 23 aug 2014, 10:30

Het antwoord op de derde vraag "Gegeven de vectoren (v_1 ) ⃗= (OA) ⃗ ; (v_2 ) ⃗= (OB) ⃗ ; (v_3 ) ⃗= 2.(OA) ⃗-(OB) ⃗ ; (v_4 ) ⃗=3.(OB) ⃗-5.(OA) ⃗. Stel H de ruimte voortgebracht door deze vier vectoren.
Bepaal een basis voor H en bepaal de cartesische vergelijking van H."

v1=(OA)=(1,1,1)-(0,0,0)=(1,1,1)
v2=(OB)=(0,0,1)
v3=2*(OA)-(OB)=2*(1,1,1)-(0,0,1)=(2,2,1)
v4=3*(OB)-5*(OA)=3*(0,0,1)-5*(1,1,1)=(-5,-5,-2)

als ik bovenstaande vectoren in een matrix plaats en het RREF-commando erop uitvoer bekom ik u1(1,1,0) en u2(0,0,1) wat al de basis is van H.

De cartesische vergelijking wordt bepaald door (x,y,z)=k*(1,1,0)+l*(0,0,1) waardoor x=k, y=k en z=l
Hierna loop ik weer vast..

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14242
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Algebra

Bericht door SafeX » 23 aug 2014, 10:58

pinksweatpants schreef: Deze dacht ik daarna samen te zetten en door mijn rekenmachine te halen maar ik bekom geen uitkomst..
Geen idee wat je hier zou doen.

Kies eens een willekeurig punt (liever niet in alpha) eerst met gewone getallen, daarna (p,q,r).
Bepaal de afstand tot vlak alpha.

Opm: ik heb nog meer vragen gesteld ...

pinksweatpants
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 22 aug 2014, 15:33

Re: Algebra

Bericht door pinksweatpants » 24 aug 2014, 08:47

Sorry ik dacht dat ik al je vragen beantwoordt had.. Welke vragen heb ik nog niet beantwoordt?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14242
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Algebra

Bericht door SafeX » 24 aug 2014, 09:41

Ikmerk dat je heel wat gepost hebt. Nadeel: overzicht is weg ...

Opg 1:
Ik dacht de formule voor de afstand van een punt tot een vlak te gebruiken dus
d(alpha,C)= [abs(-xc+yc+zc-1)]/[wortel((-1)^2+1^2+1^2) = 2
Goed, maar bedenk wat je doet ... , je krijgt twee vlakken evenwijdig met alpha op afstand 2, dus de verg moet zijn -x+y+z=k met k te bepalen. Natuurlijk is (xC,yC,zC) het willekeurige punt in één van deze vlakken. Vind k ...

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14242
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Algebra

Bericht door SafeX » 24 aug 2014, 10:25

pinksweatpants schreef:"Bereken alle punten D in IR3 zodat de driehoek ABD rechthoekig is in A"

Ja, je kan een richtingsafgeleide van AB bepalen, nl B-A=(0,0,1)-(1,1,1)=(-1,-1,0) of als je wil (1,1,0)

Dit is mijn denkwijze tot dusver over deze vraag:

Als driehoek ABD rechthoekig wil zijn in A kan Phytagoras toegepast worden dus d(AB)^2 + d(AD)^2 = d(BD)^2
waarbij d(A,B)=wortel[1^2+1^2+0]=wortel(2)
Hoe ik eventueel verder kan werken zie ik niet..
Prima, bedenk dat de punten D liggen in een vlak door A loodrecht AB met rv (1,1,0). Wat is de verg van dit vlak ...

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14242
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Algebra

Bericht door SafeX » 24 aug 2014, 10:47

Gegeven de vectoren (v_1 ) ⃗= (OA) ⃗ ; (v_2 ) ⃗= (OB) ⃗ ; (v_3 ) ⃗= 2.(OA) ⃗-(OB) ⃗ ; (v_4 ) ⃗=3.(OB) ⃗-5.(OA) ⃗
Wat staat hier ... , de 'tussen'tekens kan ik niet lezen/begrijpen ...

pinksweatpants
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 22 aug 2014, 15:33

Re: Algebra

Bericht door pinksweatpants » 24 aug 2014, 14:27

heb je misschien een emailadres waarop ik je een word-document kan doorsturen want het is nogal moeilijk om alle wiskundige vergelijkingen hier steeds neer te zetten...

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14242
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Algebra

Bericht door SafeX » 25 aug 2014, 08:54

Probeer LaTeX te gebruiken met als vb:



Heb je dit misschien bedoeld ...

Plaats reactie