Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.

Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor JB1997 » 14 Dec 2015, 19:52

Gegeven is volgende lineaire afbeelding:
f: R3[X] --> R4[X]

f(P(X)) = x² P'(X) + x P''(X) + P'''(X) + (x^4 + x² +2)P'(0)

Hoe bepaal je het beeld van deze afbeelding? Ik heb al een basis voor de kern: B=(1), dus dat betekent dat het beeld dimensie 3 moet hebben. Heeft het iets te maken met het feit dat je de vierdemachtsterm in functie van de tweedemachtsterm kunt schrijven (en hetzelf voor de derde en de eerste machtsterm) ?

Thanks
JB1997
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 42
Geregistreerd: 02 Nov 2015, 18:21

Re: Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor arie » 14 Dec 2015, 23:38

Dit lijkt me een notatie voor de afbeelding f van
polynomen van graad maximaal 3 = P3
op
polynomen van graad maximaal 4 = P4

Dus van:



op




Druk nu b0 t/m b4 elk uit in a0 t/m a3 (werk daarvoor het functievoorschrift uit).

Vervolgens kan je daarmee een 5 bij 4 matrix M opstellen, die vector a afbeeldt op b, in deze vorm:



Hiermee zou je beeld en kern moeten kunnen bepalen.
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2926
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor JB1997 » 15 Dec 2015, 19:30

Zit ik dan juist met het feit dat de basis voor de kern gewoon de verzameling met daarin 1 is?
JB1997
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 42
Geregistreerd: 02 Nov 2015, 18:21

Re: Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor arie » 15 Dec 2015, 20:21



is nog niet een volledige basis voor de kern.

Hoe ben je daaraan gekomen?
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2926
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor JB1997 » 15 Dec 2015, 21:43

het voorschrift uitgewerkt in door overal de standaard derdegraadsvgl in te vullen, en dan gekeken wanneer die vierdegraadsvgl. 0 wordt. Als a=b=c=0 ,maar ik voel ook aan dat dit niet voldoende is...
JB1997
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 42
Geregistreerd: 02 Nov 2015, 18:21

Re: Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor arie » 15 Dec 2015, 22:44

Het gaat hier niet om de nulpunten van een 4e-graads vergelijking, maar om de vectoren uit P3(x) die op de nulvector in P4(x) worden afgebeeld.

We hadden



De machten van x:



kan je zien als de 4 eenheidsvectoren van P3(x).
Elke derdegraadsvergelijking is een lineaire combinatie van die 4 vectoren.

Vergelijk dit met de eenheidsvectoren in een vierdimensionale vectorruimte.
Deze ruimte wordt opgespannen door deze vectoren.
Elke vector v in deze ruimte kan je uitdrukken als lineaire combinatie van deze eenheidsvectoren:



Hierbij zijn a3, a2, a1 en a0 scalaire constanten.


P3(x) wordt door f afgebeeld op P4(x):



Dit is een 5-dimensionale ruimte met eenheidsvectoren




De afbeelding f van P3(x) naar P4(x) is een lineaire afbeelding, die beschreven kan worden door een matrix M, zodanig dat



Om deze matrix M te bepalen werken we eerst het functievoorschrift, gegeven door



verder uit.
We hadden:



dus





etc.

Werk dit verder uit en combineer dit tot je kan schrijven



volledig in coëfficiënten a0 t/m a3 uitgedrukt.

Kan je dan M bepalen?

Tenslotte moeten we (als we M hebben) om de kern te vinden nog oplossen:

arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2926
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor JB1997 » 16 Dec 2015, 17:47

Oh ja zo, bedankt dat is al veel duidelijker :) ! En het beeld? Hoe ga je daar dan tewerk?
JB1997
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 42
Geregistreerd: 02 Nov 2015, 18:21

Re: Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor arie » 16 Dec 2015, 18:07

Als het goed is heb je nu gevonden:



waardoor



en elke beeldvector b geschreven kan worden als:



Kan je dit nog vereenvoudigen?
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2926
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor JB1997 » 16 Dec 2015, 18:41

laatste term valt weg
JB1997
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 42
Geregistreerd: 02 Nov 2015, 18:21

Re: Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor arie » 16 Dec 2015, 19:05

Klopt, en de derde is afhankelijk van de eerste twee, in dit geval simpelweg een veelvoud van de eerste.
Dus we houden over:







ofwel:




En wat had je gevonden voor de kern?
Komt dit overeen met de dimensiestelling?
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2926
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor JB1997 » 16 Dec 2015, 20:11

a2 = 0 en a3= (-1/3)a1
JB1997
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 42
Geregistreerd: 02 Nov 2015, 18:21

Re: Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor arie » 16 Dec 2015, 20:35

Klopt.



Levert
a2 = 0
en
a3= (-1/3)a1

als we a1 = lambda nemen, dan is a3 = (-1/3)lambda
a2 moet nul zijn
a0 kunnen we vrij kiezen, stel mu:

dit levert



Herschrijf dit nog in termen van P3(x) en we zijn klaar.
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2926
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor JB1997 » 16 Dec 2015, 20:42

Oke ja bedankt, ik vind de notatie wel wat verwarrend want wij hebben het anders geleerd (zonder matrixvorm)
JB1997
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 42
Geregistreerd: 02 Nov 2015, 18:21

Re: Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor arie » 16 Dec 2015, 21:12

Klopt. De weg hierboven is heel uitgebreid, om de link te leggen tussen de gebruikelijke matrix-vector-algebra en de iets minder bekende polynoom algebra Pn(x).
Hieronder een snellere weg:


[1] Bereik:

Voor het bereik kan je ook direct zeggen:









Met in de laatste stap
lambda = 3a3 + a1
en
mu = 2a2


[2] Kern:

En voor de kern:



betekent alle parameters 0, dus
3a3 + a1 = 0
en
2a2 = 0
Stel weer
a1 = lambda, dan is a3 = (-1/3)lambda
a2 moet nul zijn
a0 = mu
dan levert dit in P3(x):





arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2926
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Bepalen van beeld van een lineaire afbeelding

Berichtdoor JB1997 » 16 Dec 2015, 21:49

Zo had ik het oorspronkelijk ook geprobeerd, maar ik geraakte vast onderweg. Bedankt voor de hulp, Arie!
JB1997
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 42
Geregistreerd: 02 Nov 2015, 18:21


Terug naar Lineaire & abstracte algebra

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten

Wie is er online?

Er zijn in totaal 3 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 3 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.