Matrices

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.
Plaats reactie
JB1997
Vast lid
Vast lid
Berichten: 42
Lid geworden op: 02 nov 2015, 18:21

Matrices

Bericht door JB1997 » 17 jan 2016, 13:07

Zij $ A= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 &0 \\
0& 1 & 0 &p \\
0 & 0 &-1 & 0\\
0& p & 0 & -1
\end{pmatrix}$ waarbij $p \in \mathbb{R}$ . De eigenruimte behorende bij een eigenwaarde $\lambda \in \mathbb{R}$ noteren we $E_{\lambda }$.
Bewijs dat, indien $p\neq 0$, dim($E_{1}$) = dim($E_{-1}$) = 1. Geef ook een basis.
Zij nu p = 0. Bepaal dim($E_{1}$) en dim($E_{-1}$). Geef een basis van E_{-1}.
Hoe doe je dit?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3073
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Matrices

Bericht door arie » 17 jan 2016, 14:16

JB1997 schreef:Zij

waarbij
.

De eigenruimte behorende bij een eigenwaarde
noteren we .

Bewijs dat, indien , dim() = dim() = 1.
Geef ook een basis.

Zij nu p = 0. Bepaal dim() en dim().
Geef een basis van .

Hoe doe je dit?
Hint:

Voor eigenvector (e1,e2,e3,e4) geldt bij lambda = 1:



Wat kan je daaruit voor deze eigenvector(en) afleiden (eerst voor p ongelijk nul)?


PS:
De dollartekens voor latex werken hier niet, gebruik [te x]...[/te x] of [formul e]...[/formul e]
(maar dan zonder de spaties)

JB1997
Vast lid
Vast lid
Berichten: 42
Lid geworden op: 02 nov 2015, 18:21

Re: Matrices

Bericht door JB1997 » 17 jan 2016, 15:24

Hoe kom je hier aan?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3073
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Matrices

Bericht door arie » 17 jan 2016, 15:49

Gebruik de definitie van eigenvectoren v en bijbehorende eigenwaarde lambda van vierkante matrix A:



zie bijvoorbeeld
https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalu ... genvectors

In jouw opgaven zijn A en lambda gegeven, we moeten kijken wat dat betekent voor eigenvector(en) v.

JB1997
Vast lid
Vast lid
Berichten: 42
Lid geworden op: 02 nov 2015, 18:21

Re: Matrices

Bericht door JB1997 » 17 jan 2016, 18:16

Oh ja oke, sorry, was effe verstrooid :p ja ik snap waar je naartoe wilt :)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3073
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Matrices

Bericht door arie » 17 jan 2016, 19:00

OK.
Welke eigenvector(en) vind je nu als p ongelijk nul en lambda = 1 ?
(Dus als je het stelsel in mijn eerdere post uitschrijft en oplost?)

JB1997
Vast lid
Vast lid
Berichten: 42
Lid geworden op: 02 nov 2015, 18:21

Re: Matrices

Bericht door JB1997 » 17 jan 2016, 23:02

Je krijgt de vector van de vorm

Laatst gewijzigd door arie op 17 jan 2016, 23:35, 1 keer totaal gewijzigd.
Reden: wijziging: tex code verbeterd

JB1997
Vast lid
Vast lid
Berichten: 42
Lid geworden op: 02 nov 2015, 18:21

Re: Matrices

Bericht door JB1997 » 17 jan 2016, 23:07

Dus dimensie 1

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3073
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Matrices

Bericht door arie » 17 jan 2016, 23:41

Klopt.

Dus E_1 wordt beschreven door:

waarbij




Dezelfde werkwijze nu nog voor lambda = -1:




Voor het geval p = 0 gaat A over in een diagonaalmatrix.
Lukt het je om daarvan heel snel eigenwaarden en eigenvectoren te bepalen?

JB1997
Vast lid
Vast lid
Berichten: 42
Lid geworden op: 02 nov 2015, 18:21

Re: Matrices

Bericht door JB1997 » 18 jan 2016, 13:18

voor bekom ik dat zowel als dimensie 2 hebben. Als basis voor heb ik dan

en voor heb ik als basis

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3073
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Matrices

Bericht door arie » 18 jan 2016, 16:25

OK

Plaats reactie