Pagina 1 van 1
Matrices
Geplaatst: 17 jan 2016, 13:07
door JB1997
Zij $ A= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 &0 \\
0& 1 & 0 &p \\
0 & 0 &-1 & 0\\
0& p & 0 & -1
\end{pmatrix}$ waarbij $p \in \mathbb{R}$ . De eigenruimte behorende bij een eigenwaarde $\lambda \in \mathbb{R}$ noteren we $E_{\lambda }$.
Bewijs dat, indien $p\neq 0$, dim($E_{1}$) = dim($E_{-1}$) = 1. Geef ook een basis.
Zij nu p = 0. Bepaal dim($E_{1}$) en dim($E_{-1}$). Geef een basis van E_{-1}.
Hoe doe je dit?
Re: Matrices
Geplaatst: 17 jan 2016, 14:16
door arie
JB1997 schreef:Zij
waarbij
.
De eigenruimte behorende bij een eigenwaarde
noteren we
.
Bewijs dat, indien
, dim(
) = dim(
) = 1.
Geef ook een basis.
Zij nu p = 0. Bepaal dim(
) en dim(
).
Geef een basis van
.
Hoe doe je dit?
Hint:
Voor eigenvector (e1,e2,e3,e4) geldt bij lambda = 1:
Wat kan je daaruit voor deze eigenvector(en) afleiden (eerst voor p ongelijk nul)?
PS:
De dollartekens voor latex werken hier niet, gebruik [te x]...[/te x] of [formul e]...[/formul e]
(maar dan zonder de spaties)
Re: Matrices
Geplaatst: 17 jan 2016, 15:24
door JB1997
Hoe kom je hier aan?
Re: Matrices
Geplaatst: 17 jan 2016, 15:49
door arie
Gebruik de definitie van eigenvectoren
v en bijbehorende eigenwaarde lambda van vierkante matrix A:
zie bijvoorbeeld
https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalu ... genvectors
In jouw opgaven zijn A en lambda gegeven, we moeten kijken wat dat betekent voor eigenvector(en) v.
Re: Matrices
Geplaatst: 17 jan 2016, 18:16
door JB1997
Oh ja oke, sorry, was effe verstrooid :p ja ik snap waar je naartoe wilt
Re: Matrices
Geplaatst: 17 jan 2016, 19:00
door arie
OK.
Welke eigenvector(en) vind je nu als p ongelijk nul en lambda = 1 ?
(Dus als je het stelsel in mijn eerdere post uitschrijft en oplost?)
Re: Matrices
Geplaatst: 17 jan 2016, 23:02
door JB1997
Je krijgt de vector van de vorm
Re: Matrices
Geplaatst: 17 jan 2016, 23:07
door JB1997
Dus dimensie 1
Re: Matrices
Geplaatst: 17 jan 2016, 23:41
door arie
Klopt.
Dus E_1 wordt beschreven door:
waarbij
Dezelfde werkwijze nu nog voor lambda = -1:
Voor het geval p = 0 gaat A over in een diagonaalmatrix.
Lukt het je om daarvan heel snel eigenwaarden en eigenvectoren te bepalen?
Re: Matrices
Geplaatst: 18 jan 2016, 13:18
door JB1997
voor
bekom ik dat zowel
als
dimensie 2 hebben. Als basis voor
heb ik dan
en voor
heb ik als basis
Re: Matrices
Geplaatst: 18 jan 2016, 16:25
door arie
OK