Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.

Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Berichtdoor mark1990 » 28 Jan 2016, 22:12

Ik zit met een probleem waar ik niet helemaal uitkom. Allereerst de Nederlands vertaling van Isotropic Points, klopt het dat dat Isotrope punten zijn?

Nu de vraag:
Ga er vanuit dat een systeem zich op een isotroop punt bevind: De kolommen van de Jacobian zijn orthogonaal en van gelijke grootte. De bijbehorende Jacobian geschreven kan worden op de volgende manier. Bepaal de ontbrekende elementen.



Hoe bepaal ik hier de de ontbrekende elementen? Ik snap hoe ik in een 2x2 matrix de isotope punten kan berekenen, namelijk en . Hoe werkt dit bij 3x3 matrices? Als ik de formules pak van een 2x2 matrix en deze op de zelfde manier toepas kom ik er niet uit.. Iemand die mij kan helpen?

Mark
mark1990
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 8
Geregistreerd: 24 Feb 2015, 13:27

Re: Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Berichtdoor arie » 28 Jan 2016, 23:54

Je hebt deze Jacobian:



met daarbij deze gegevens:
de kolommen van de Jacobian zijn orthogonaal en van gelijke grootte.

Orthogonale kolommen houdt in dat de kolommen onderling loodrecht op elkaar staan = dat hun inproducten nul zijn:







Uit cf = 0 volgt dat c = 0 OF f = 0
[1] Stel c = 0:
dan moet ook bd = 0 zijn
Maar d mag NIET nul zijn (anders wordt de tweede kolom een nulvector), dus moet b nul zijn.
Hoe ziet je Jacobian er nu uit?
Kan je de eerste en derde kolomvector nu verwerken (tot loodrechte vectoren met gelijke lengte) ?
Pas tenslotte de lengte van de tweede vector daarop aan.
[2] Stel f = 0:
Analoog aan [1], maar nu mag om te beginnen e niet nul zijn.

Kom je hiermee verder?
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2926
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Berichtdoor mark1990 » 29 Jan 2016, 11:02

Bedankt arie voor je uitleg.

Kom er nog niet helemaal mee verder.. De stappen die je noemt snap ik nu, de J matrix wordt dan:


Waarna je kunt zeggen dat (via de inproducten) en dat (via de lengte van de vectoren). Maar dan heb je 3 onbekenden in twee vergelijkingen?
Verder kun je zeggen dat , maar daar heb je nu ook niet zoveel aan dacht ik? Wat mis ik?
mark1990
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 8
Geregistreerd: 24 Feb 2015, 13:27

Re: Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Berichtdoor arie » 29 Jan 2016, 12:02

Je hebt dan nog 1 vrijheidsgraad over.

Stel


dan is



ofwel



waardoor wegens gelijke lengte van de kolomvectoren:



dus



en




Voor d geldt:



en daarmee hebben we alle onbekenden uitgedrukt in lambda.
Elke keuze van lambda geeft een oplossing.

Maar ik vermoed nu dat je een unieke oplossing verwacht.
Heb je mogelijk een andere of uitgebreidere definitie van isotrope punten?
Of zijn er meer gegevens bekend?
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2926
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Berichtdoor mark1990 » 29 Jan 2016, 12:23

arie,

Ik denk dat dit goed is. Ik dacht dat er misschien een regel was die ik gemist had dat er wel een unieke oplossing uitkwam. Ik vermoed dat de opgave niet perse is om een unieke oplossing te bedenken, en dat dit wel het antwoord is.
Helaas heb ik geen oplossing of andere informatie. De vraag was letterlijk (in het Engels):

General mechanisms sometimes have certain configurations, called "isotropic points," where the columns of the Jacobian become orthogonal and of equal magnitude. If a manipulator is at an isotropic point and its corresponding Jacobian can be written in the following form with missing elements, please determine the missing elements.

Waarbij hetgeen dat jij definieert volgens mij een oplossing is. Bedankt voor je hulp!
mark1990
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 8
Geregistreerd: 24 Feb 2015, 13:27

Re: Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Berichtdoor arie » 29 Jan 2016, 13:20

OK.
Vergeet niet de oplossingen voor het geval f=0 uit te werken.
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2926
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Isotrope punten in Jacobian (3x3 matrix)

Berichtdoor wnvl » 29 Jan 2016, 23:16

Ik veronderstel dat het probleem uit de robotica komt. De Jacobiaan is een tensor voor de overgang van het ene coordinatenstelsel naar het andere. De relevantie en het belang van die isotrope punten is mij wel niet duidelijk. Mocht iemand enige verduidelijking hebben...
Gebruikers-avatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1493
Geregistreerd: 05 Okt 2011, 16:30


Terug naar Lineaire & abstracte algebra

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten

Wie is er online?

Er zijn in totaal 3 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 3 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.