Groepen

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.

Groepen

Berichtdoor Jenbos » 07 Apr 2016, 10:56

Zij G een eindige verzameling, met daarop een associatieve bewerking gedefinieerd. We zeggen dat alle elementen van G regulier zijn. Een element is regulier als en slechts als: en
1) Bewijs dat er een bestaat voor waarvoor geldt:
2) Bewijs dat
Jenbos
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 26
Geregistreerd: 02 Feb 2016, 19:24

Re: Groepen

Berichtdoor SafeX » 07 Apr 2016, 15:55

Je noteert een opgave, maar wat is je vraag ...
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14082
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Groepen

Berichtdoor JB1997 » 07 Apr 2016, 17:29

1) en 2) zijn mijn vraag :)
JB1997
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 42
Geregistreerd: 02 Nov 2015, 18:21

Re: Groepen

Berichtdoor arie » 08 Apr 2016, 12:58

[1]
G is eindig, stel het aantal elementen van G = |G| = n.

Verder is gegeven: alle elementen van G zijn regulier, ofwel:

ofwel (logische omkering):


Dus voor alle n verschillende elementen b van G geldt

dus moeten er ook n verschillende producten

bestaan.
Kan je hiermee het bewijs voltooien?


[2]
Analoog aan [1] bewijs je dat er een bestaat voor waarvoor geldt:
Kijk nu naar

Gebruik de 2 gegeven eigenschappen (G associatief en regulier) om het bewijs te voltooien.

NOOT: Als je het heel volledig zou willen doen kan je ook nog bewijzen dat voor

geldt dat
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2926
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Groepen

Berichtdoor Jenbos » 08 Apr 2016, 14:23

1) Mijn eerste gedacht zou zijn:
Omdat er n verschillende producten zijn, betekent dit vanwege de inwendigheid dat alle n producten gelijk zijn aan een verschillend element element van G (en dit zijn er net n). Dus want en stel

2) dit volgt zeer gemakkelijk doordat
Jenbos
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 26
Geregistreerd: 02 Feb 2016, 19:24

Re: Groepen

Berichtdoor arie » 08 Apr 2016, 18:18

OK.

Kan je vanuit hetgeen gegeven ook nog aantonen dat voor e1 en e2 in:



en



volgt dat

arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2926
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Groepen

Berichtdoor Jenbos » 08 Apr 2016, 21:12

Door associativiteit:
dan regulariteit:
Jenbos
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 26
Geregistreerd: 02 Feb 2016, 19:24

Re: Groepen

Berichtdoor Jenbos » 08 Apr 2016, 21:15

Maar ik zit wel nog met een vraag: bij 1) heb ik gebruik gemaakt van de inwendigheid, maar er is gegeven dat G een verzameling is (en niet een groep). Kan ik dan wel gebruik maken van de inwendigheid, want de samenstelling van 2 elementen uit dezelfde verzameling zit toch niet per se opnieuw in die verzameling?
Jenbos
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 26
Geregistreerd: 02 Feb 2016, 19:24

Re: Groepen

Berichtdoor arie » 08 Apr 2016, 23:57

Zie bijvoorbeeld http://www.maths.manchester.ac.uk/~rs/AlgStrFullNotesNew.pdf
(pagina 1, bovenaan):
"A binary operation ∗ on a non-empty set S is a rule that assigns to each ordered pair of elements of S a uniquely determined element of S."

Ofwel: een bewerking over een eindige verzameling G is een functie


Ofwel: G is gesloten (= inwendig) onder

Als je een andere definitie gekregen hebt, zet deze dan s.v.p. even hier neer.
We zullen het bewijs dan moeten herzien.
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2926
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Groepen

Berichtdoor Jenbos » 09 Apr 2016, 09:55

Neen, dit is letterlijk de vraag zoals ze op het oefeningenblad staat. Er zijn wel nog 3 andere deelvragen die volgen na de 2 die ik hier heb gepost. 3) Bewijs dat wat natuurlijk volgt uit de associativiteit en regulariteit:
2) Bewijs dat een groep is: associativiteit en inwendigheid zijn al meegegeven door de binaire bewerking, neutraal element hebben we zonet alles bewezen, nl. , dus enkel nog bewijzen dat : analoog zoals bij 1), doordat , kunnen we opnieuw gebruik maken van de uniciteit van de producten en de eindigheid van G om te stellen dat er met elk element in G, een invers element correspondeert.
3) Is nog steeds een groep als G oneindig is? Neen, dan kunnen we bovenstaande redenering niet meer maken
Jenbos
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 26
Geregistreerd: 02 Feb 2016, 19:24

Re: Groepen

Berichtdoor arie » 09 Apr 2016, 22:33

Jenbos schreef:3) Is nog steeds een groep als G oneindig is? Neen, dan kunnen we bovenstaande redenering niet meer maken

Onbeslist: mogelijk wel, mogelijk niet.

We hebben in dit geval dus gegeven met:
- G een ONeindige verzameling
- op G een associatieve bewerking
- alle elementen van G zijn regulier

Kijk eens naar
, alle gehele getallen met bewerking optellen
en
, alle positieve gehele getallen met bewerking optellen

Voldoen deze aan de 3 gegeven eigenschappen?
Zijn het groepen?
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2926
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Groepen

Berichtdoor Jenbos » 10 Apr 2016, 03:43

De eerste is wel een groep, de tweede niet
Jenbos
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 26
Geregistreerd: 02 Feb 2016, 19:24


Terug naar Lineaire & abstracte algebra

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten

Wie is er online?

Er zijn in totaal 3 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 3 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.