Groepen

door **Jenbos** » 07 Apr 2016, 10:56

Zij G een eindige verzameling, met daarop een associatieve bewerking $\ast$ gedefinieerd. We zeggen dat alle elementen van G regulier zijn. Een element $a\in G$ is regulier als en slechts als: $a\ast x=a\ast y\Rightarrow x=y$ en $x\ast a=y\ast a\Rightarrow x=y$
1) Bewijs dat er een $e\in G$ bestaat voor $a\in G$ waarvoor geldt: $a\ast e=a$
2) Bewijs dat $\forall x\in G: x\ast e=x$

door **SafeX** » 07 Apr 2016, 15:55

Je noteert een opgave, maar wat is je vraag ...

door **JB1997** » 07 Apr 2016, 17:29

1) en 2) zijn mijn vraag

door **arie** » 08 Apr 2016, 12:58

[1]
G is eindig, stel het aantal elementen van G = |G| = n.

Verder is gegeven: alle elementen van G zijn regulier, ofwel:
$a\ast x \;=\; a\ast y \;\Rightarrow \; x=y$
ofwel (logische omkering):
$x \neq y \; \Rightarrow\; a\ast x \;\neq \; a\ast y$

Dus voor alle n verschillende elementen b van G geldt
$b_i \neq b_j \; \Rightarrow\; a \ast b_i \;\neq \; a \ast b_j$
dus moeten er ook n verschillende producten
$a \ast b$
bestaan.
Kan je hiermee het bewijs voltooien?

[2]
Analoog aan [1] bewijs je dat er een $e\in G$ bestaat voor $a\in G$ waarvoor geldt: $e \ast a \;=\; a$
Kijk nu naar
$x \ast (e \ast a) \;=\; x \ast a$
Gebruik de 2 gegeven eigenschappen (G associatief en regulier) om het bewijs te voltooien.

NOOT: Als je het heel volledig zou willen doen kan je ook nog bewijzen dat voor
$e_1\ast a \;=\; a \ast e_2 \;=\; a$
geldt dat
$e_1 \;=\; e_2 \;=\; e$

door **Jenbos** » 08 Apr 2016, 14:23

1) Mijn eerste gedacht zou zijn:
Omdat er n verschillende producten $a\ast b$ zijn, betekent dit vanwege de inwendigheid dat alle n producten gelijk zijn aan een verschillend element element van G (en dit zijn er net n). Dus $\exists e\in G:a\ast e=a$ want $a\in G$ en stel $b=e$

2) dit volgt zeer gemakkelijk doordat $(x\ast e)\ast a=x\ast a\Rightarrow x\ast e=x$

door **arie** » 08 Apr 2016, 18:18

OK.

Kan je vanuit hetgeen gegeven ook nog aantonen dat voor e1 en e2 in:

$e_1 \ast a \;=\; a$

en

$a \ast e_2 \;=\; a$

volgt dat

$e_1 \;=\; e_2$

door **Jenbos** » 08 Apr 2016, 21:12

Door associativiteit: $e_{1}\ast a=a\ast e_{2}\Rightarrow (a\ast e_{1})\ast a=a\ast (a\ast e_{2})\Rightarrow (a\ast e_{1})\ast a=a\ast a$
dan regulariteit: $a\ast e_{1}=a=a\ast e_{2}\Rightarrow e_{1}=e_{2}$

door **Jenbos** » 08 Apr 2016, 21:15

Maar ik zit wel nog met een vraag: bij 1) heb ik gebruik gemaakt van de inwendigheid, maar er is gegeven dat G een verzameling is (en niet een groep). Kan ik dan wel gebruik maken van de inwendigheid, want de samenstelling van 2 elementen uit dezelfde verzameling zit toch niet per se opnieuw in die verzameling?

door **arie** » 08 Apr 2016, 23:57

Zie bijvoorbeeld http://www.maths.manchester.ac.uk/~rs/AlgStrFullNotesNew.pdf
(pagina 1, bovenaan):
"A binary operation ∗ on a non-empty set S is a rule that assigns to each ordered pair of elements of S a uniquely determined element of S."

Ofwel: een bewerking $\ast$ over een eindige verzameling G is een functie
$\ast \; : \; G \times G \rightarrow G$

Ofwel: G is gesloten (= inwendig) onder $\ast$

Als je een andere definitie gekregen hebt, zet deze dan s.v.p. even hier neer.
We zullen het bewijs dan moeten herzien.

door **Jenbos** » 09 Apr 2016, 09:55

Neen, dit is letterlijk de vraag zoals ze op het oefeningenblad staat. Er zijn wel nog 3 andere deelvragen die volgen na de 2 die ik hier heb gepost. 3) Bewijs dat $\forall x\in G:e\ast x=x$ wat natuurlijk volgt uit de associativiteit en regulariteit: $a\ast e=a\Rightarrow a\ast (e\ast x)=a\ast x\Rightarrow e\ast x=x$
2) Bewijs dat $(G,\ast )$ een groep is: associativiteit en inwendigheid zijn al meegegeven door de binaire bewerking, neutraal element hebben we zonet alles bewezen, nl. $x\ast e=x=e\ast x$ , dus enkel nog bewijzen dat $\exists !x^{-1}\in G$ $\forall x\in G$ : analoog zoals bij 1), doordat $x_{i}\ast x_{i}^{-1}=e\in G$ $\forall x_{i}\in G$ , kunnen we opnieuw gebruik maken van de uniciteit van de producten en de eindigheid van G om te stellen dat er met elk element in G, een invers element correspondeert.
3) Is $(G,\ast )$ nog steeds een groep als G oneindig is? Neen, dan kunnen we bovenstaande redenering niet meer maken

door **arie** » 09 Apr 2016, 22:33

Jenbos schreef:3) Is $(G, \ast )$ nog steeds een groep als G oneindig is? Neen, dan kunnen we bovenstaande redenering niet meer maken

Onbeslist: mogelijk wel, mogelijk niet.

We hebben in dit geval dus gegeven $(G, \ast )$ met:
- G een ONeindige verzameling
- op G een associatieve bewerking $\ast$
- alle elementen van G zijn regulier

Kijk eens naar
$(\mathbb{Z},+)$ , alle gehele getallen met bewerking optellen
en
$(\mathbb{N}^+,+)$ , alle positieve gehele getallen met bewerking optellen

Voldoen deze aan de 3 gegeven eigenschappen?
Zijn het groepen?

door **Jenbos** » 10 Apr 2016, 03:43

De eerste is wel een groep, de tweede niet

Groepen

Groepen

Re: Groepen

Re: Groepen

Re: Groepen

Re: Groepen

Re: Groepen

Re: Groepen

Re: Groepen

Re: Groepen

Re: Groepen

Re: Groepen

Re: Groepen

Wie is er online?

Wie is er online?