Pagina 1 van 1
Groepen
Geplaatst: 07 apr 2016, 10:56
door Jenbos
Zij G een eindige verzameling, met daarop een associatieve bewerking
gedefinieerd. We zeggen dat alle elementen van G regulier zijn. Een element
is regulier als en slechts als:
en
1) Bewijs dat er een
bestaat voor
waarvoor geldt:
2) Bewijs dat
Re: Groepen
Geplaatst: 07 apr 2016, 15:55
door SafeX
Je noteert een opgave, maar wat is je vraag ...
Re: Groepen
Geplaatst: 07 apr 2016, 17:29
door JB1997
1) en 2) zijn mijn vraag
Re: Groepen
Geplaatst: 08 apr 2016, 12:58
door arie
[1]
G is eindig, stel het aantal elementen van G = |G| = n.
Verder is gegeven: alle elementen van G zijn regulier, ofwel:
ofwel (logische omkering):
Dus voor alle n verschillende elementen b van G geldt
dus moeten er ook n verschillende producten
bestaan.
Kan je hiermee het bewijs voltooien?
[2]
Analoog aan [1] bewijs je dat er een
bestaat voor
waarvoor geldt:
Kijk nu naar
Gebruik de 2 gegeven eigenschappen (G associatief en regulier) om het bewijs te voltooien.
NOOT: Als je het heel volledig zou willen doen kan je ook nog bewijzen dat voor
geldt dat
Re: Groepen
Geplaatst: 08 apr 2016, 14:23
door Jenbos
1) Mijn eerste gedacht zou zijn:
Omdat er n verschillende producten
zijn, betekent dit vanwege de inwendigheid dat alle n producten gelijk zijn aan een verschillend element element van G (en dit zijn er net n). Dus
want
en stel
2) dit volgt zeer gemakkelijk doordat
Re: Groepen
Geplaatst: 08 apr 2016, 18:18
door arie
OK.
Kan je vanuit hetgeen gegeven ook nog aantonen dat voor e1 en e2 in:
en
volgt dat
Re: Groepen
Geplaatst: 08 apr 2016, 21:12
door Jenbos
Door associativiteit:
dan regulariteit:
Re: Groepen
Geplaatst: 08 apr 2016, 21:15
door Jenbos
Maar ik zit wel nog met een vraag: bij 1) heb ik gebruik gemaakt van de inwendigheid, maar er is gegeven dat G een verzameling is (en niet een groep). Kan ik dan wel gebruik maken van de inwendigheid, want de samenstelling van 2 elementen uit dezelfde verzameling zit toch niet per se opnieuw in die verzameling?
Re: Groepen
Geplaatst: 08 apr 2016, 23:57
door arie
Zie bijvoorbeeld
http://www.maths.manchester.ac.uk/~rs/A ... tesNew.pdf
(pagina 1, bovenaan):
"A binary operation ∗ on a non-empty set S is a rule that assigns to each ordered pair of elements of S a uniquely determined element of S."
Ofwel: een bewerking
over een eindige verzameling G is een functie
Ofwel: G is gesloten (= inwendig) onder
Als je een andere definitie gekregen hebt, zet deze dan s.v.p. even hier neer.
We zullen het bewijs dan moeten herzien.
Re: Groepen
Geplaatst: 09 apr 2016, 09:55
door Jenbos
Neen, dit is letterlijk de vraag zoals ze op het oefeningenblad staat. Er zijn wel nog 3 andere deelvragen die volgen na de 2 die ik hier heb gepost. 3) Bewijs dat
wat natuurlijk volgt uit de associativiteit en regulariteit:
2) Bewijs dat
een groep is: associativiteit en inwendigheid zijn al meegegeven door de binaire bewerking, neutraal element hebben we zonet alles bewezen, nl.
, dus enkel nog bewijzen dat
: analoog zoals bij 1), doordat
, kunnen we opnieuw gebruik maken van de uniciteit van de producten en de eindigheid van G om te stellen dat er met elk element in G, een invers element correspondeert.
3) Is
nog steeds een groep als G oneindig is? Neen, dan kunnen we bovenstaande redenering niet meer maken
Re: Groepen
Geplaatst: 09 apr 2016, 22:33
door arie
Jenbos schreef:3) Is
nog steeds een groep als G oneindig is? Neen, dan kunnen we bovenstaande redenering niet meer maken
Onbeslist: mogelijk wel, mogelijk niet.
We hebben in dit geval dus gegeven
met:
- G een
ONeindige verzameling
- op G een associatieve bewerking
- alle elementen van G zijn regulier
Kijk eens naar
, alle gehele getallen met bewerking optellen
en
, alle positieve gehele getallen met bewerking optellen
Voldoen deze aan de 3 gegeven eigenschappen?
Zijn het groepen?
Re: Groepen
Geplaatst: 10 apr 2016, 03:43
door Jenbos
De eerste is wel een groep, de tweede niet