Vergelijking vlak en snijpunt lijn met vlak

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.

Vergelijking vlak en snijpunt lijn met vlak

Berichtdoor Kaart » 20 Mei 2016, 15:59

Beste wiskundeforum leden,

Ik doe een HBO studie technische informatica en één van de vakken waar ik binnenkort een tentamen voor heb ik Graphics. Hier komt een hoop wiskunde bij te kijken en dat is nou juist niet mijn sterkste punt. In het oefententamen gaan een aantal vragen over vectoren en hier loop ik op vast, hopelijk kan iemand mij de juiste stappen laten zien zodat ik deze straks ook op het echte tentamen kan uitvoeren.

De vragen zijn als volgt:

1. Het vlak V gaat door de oorsprong, de vector (2, 1, 2) staat loodrecht op V.
Stel een vergelijking op voor het vlak.


Ik zelf denk dat dit moet zijn: (2, 1, 2) * (x, y, z) = 0. Ik weet echter niet of dit juist is en of de notatie juist is.

2. De camera staat op positie (2, -2, -19). Vanuit de camerapositie wordt door de ‘pixel’ met coördinaten (0, 1, -14) een ray de wereld ingeschoten.
Waar snijdt de ray het vlak V?


3. In de wereld zijn lichtbronnen aanwezig en ook bevinden er zich nog andere objecten in
deze wereld.
Hoe kun je vaststellen of het hierboven bepaalde snijpunt in de schaduw ligt van andere
objecten?


Best veel vragen dus, hopelijk wil iemand de tijd nemen om mij in de juiste richting te helpen. Alvast hartelijk bedankt!
Kaart
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 6
Geregistreerd: 20 Mei 2016, 15:48

Re: Vergelijking vlak en snijpunt lijn met vlak

Berichtdoor arie » 21 Mei 2016, 16:12

1)
Voor het inproduct gebruiken we bij voorkeur een punt:
(2, 1, 2) • (x, y, z) = 0
Voor de vergelijking van een vlak werken we dit inproduct doorgaans uit tot de vorm:
2x + y + 2z = 0

Noot:
In het algemeen heeft een vlak met normaalvector (n1, n2, n3) deze vorm:
n1*x + n2*y + n3*z = d
met een constante d.
Indien ook een punt P = (p1, p2, p3) in het vlak gegeven is, kunnen we de constante d berekenen:
n1*p1 + n2*p2 + n3*p3 = d
In deze opgave was gegeven dat de oorsprong O in het vlak lag, dus P = O = (0, 0, 0),
en is d = 2*0 + 0 + 2*0 = 0


2)
Korte herinnering:
Als A een punt is en a de vector vanuit de oorsprong die eindigt in punt A, en evenzo
als B een punt is en b de vector vanuit de oorsprong die eindigt in punt B,
dan is vector (b-a) een richtingsvector voor de lijn L door punt A en B.
Een van de vectoren a of b kan dienen als steunvector van de lijn door A en B.
We kunnen de lijn L door A en B dus schrijven als:
L: x = lambda*(b-a) + a.
waarbij x, a en b vectoren zijn in de ruimte (hier 3D) waarin je werkt.

Voor de opgave:
Stele en lijn op door (2, -2, -19) en (0, 1, -14).
Je krijgt dan iets in de vorm:
x1 = …*lambda + …
x2 = …*lambda + …
x3 = …*lambda + …
Substitueer vervolgens x1, x2 en x3 in de vergelijking van het vlak en los lambda op.
Met deze lambda vind je tenslotte het gevraagde snijpunt.


3)
Er zijn verschillende manieren, mogelijk heb je er 1 van in je lesstof behandeld gekregen.
Een mogelijkheid:
Noem het punt van de lichtbron = B, het snijpunt = S, en kijk of de lijn door B en S een of meer van de objecten snijdt.
Merk op: als de lijn M gegeven is door:
M: x = mu*(b-s) + s
dan ben je voor mu=0 in punt S, en voor mu=1 in punt B.
De relevante objecten moeten dus snijpunten met M hebben waarbij 0 <= mu <= 1.


Kom je hiermee verder?
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 3024
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19


Terug naar Lineaire & abstracte algebra

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 4 gasten

cron

Wie is er online?

Er zijn in totaal 4 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 4 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 4 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.