Vergelijking

door **JB1997** » 06 Jul 2016, 06:43

Zij $k\neq 0$ en $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{k}}=1$ een vergelijking. Dan heeft deze een
natuurlijk aantal oplossingen (niet te bewijzen). Er bestaat dus een eindig aantal k-tallen (x1, ..., xk) met $x_{i}\in \mathbb{N}$ de oplossingen van de vergelijking. Definieer $N(k)=max\left \{ x_{i}\mid 1\leq i\leq k \right \}$ . Het maximum loopt
over alle oplossingen (x1, ..., xk) met natuurlijke coordinaten. Bewijs dat, als G een eindige groep is met exact k conjugatieklassen, dan geldt dat |G|≤ N(k)

Iemand tips/hulp?

door **arie** » 09 Jul 2016, 21:56

Informatie over conjugatieklassen:
http://mathworld.wolfram.com/ConjugacyClass.html
Informatie over orbits en stabilizers:
http://mathworld.wolfram.com/GroupOrbit.html

Volgens stelling (3) op die tweede pagina is

$|Orb(x)| \;=\; \frac{|G|}{|Stab(x)|}$

De orbits vormen een partitie van G, met k conjugatieklassen levert dit:

$|Orb(x)_1| \;+\; |Orb(x)_2| \;+\; ... \;+\; |Orb(x)_k| \;=\; |G|$

Combineer deze gegevens.

Kijk vervolgens naar de klasse waarin neutraal element I (= 1) in zit.
Hoe groot is |Stab(x)| voor deze klasse?

door **JB1997** » 10 Jul 2016, 11:53

|Stab(x)|=|G| voor x neutraal element, waardoor we de vgl $1 + \frac{|G|}{|Stab(x)_{2}|}+ ...+ \frac{|G|}{|Stab(x)_{k}|}=|G|$ verkrijgen. Beide leden door |G|, en we zien dat |G| een coordinaat is van een oplossing van de oorspronkelijke vergelijking, en daarom dus kleiner dan of gelijk aan N(k).

Had de oplossing ondertussen zelf al gevonden, maar toch bedankt!

Vergelijking

Vergelijking

Re: Vergelijking

Re: Vergelijking

Wie is er online?

Wie is er online?