Vergelijking

[JB1997]

Zij en een vergelijking. Dan heeft deze een
natuurlijk aantal oplossingen (niet te bewijzen). Er bestaat dus een eindig aantal k-tallen (x1, ..., xk) met de oplossingen van de vergelijking. Definieer . Het maximum loopt
over alle oplossingen (x1, ..., xk) met natuurlijke coordinaten. Bewijs dat, als G een eindige groep is met exact k conjugatieklassen, dan geldt dat |G|≤ N(k)

Iemand tips/hulp?

[arie]

Informatie over conjugatieklassen:
http://mathworld.wolfram.com/ConjugacyClass.html
Informatie over orbits en stabilizers:
http://mathworld.wolfram.com/GroupOrbit.html

Volgens stelling (3) op die tweede pagina is



De orbits vormen een partitie van G, met k conjugatieklassen levert dit:



Combineer deze gegevens.

Kijk vervolgens naar de klasse waarin neutraal element I (= 1) in zit.
Hoe groot is |Stab(x)| voor deze klasse?

[JB1997]

|Stab(x)|=|G| voor x neutraal element, waardoor we de vgl verkrijgen. Beide leden door |G|, en we zien dat |G| een coordinaat is van een oplossing van de oorspronkelijke vergelijking, en daarom dus kleiner dan of gelijk aan N(k).

Had de oplossing ondertussen zelf al gevonden, maar toch bedankt!