Aantal algemene vragen lineaire algebra

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.

Aantal algemene vragen lineaire algebra

Berichtdoor R10111001 » 11 Aug 2016, 22:12

Ik ben net begonnen in een boek over lineaire algebra en ben inmiddels tegen een aantal kleine dingen aangelopen die nog wat extra verduidelijking kunnen gebruiken. Het betreft voornamelijk zaken van notationele aard, dus ik hoop dat de notationele conventies die gebruikt worden in het boek algemeen gangbaar zijn.

Mijn eerste vraag gaat over de inverse elementaire rijoperaties. Voor de elementaire rijoperaties gebruikt men in het boek een pijlnotatie en verwijst naar de i-de vergelijking in een stelsel van eerstegraadsvergelijkingen. Zo wordt de eerste ERO bv. genoteerd als: . Mijn vraag is nu wat nu precies de correctie notatie is voor de inverse elementaire rijoperaties. Is dit voor de eerste ERO nu: waarbij de dus eigenlijk een soort van verrekend is na uitvoering van de eerste ERO, of is dit nu en blijven we na uitvoering van de eerste ERO verwijzen naar als ? Ik weet dat het nogal een triviale vraag is, maar wil toch graag weten wat nu precies correct is.

Ook vraag ik mij met betrekking tot de derde ERO ( ) af wat hier precies de intuïtie achter is. Hoe komt het dat in een stelsel van eerstegraadsvergelijkingen het optellen van een veelvoud van een j-de vergelijking bij de i-de vergelijking niets aan de oplossingsverzameling verandert?

Verder is in het boek te lezen dat twee stelsels of twee matrices rij-equivalent zijn als de ene uit de andere kan ontstaan door een opeenvolging van elementaire rijoperaties. Het is natuurlijk kenmerkend voor de elementaire rijoperaties dat zij de oplossingsverzameling van het stelsel onveranderd laten, als twee stelsels rij-equivalent zijn hebben zij dus noodzakelijk dezelfde oplossingsverzameling. Kan men echter ook het omgekeerde stellen en besluiten dat twee stelsels of twee matrices rij-equivalent zijn omdat zij dezelfde oplossingsverzameling hebben?

Tot slot nog een vraag over de notatie van een verzameling rijvectoren van lengte n en elementen in . In het boek staat dat deze verzameling verkort wordt genoteerd met in plaats van . Er staat echter ook dat we analoog werken voor de kolomvectoren. Betekent dit dan dat we een verzameling kolomvectoren van 'lengte' m verkort noteren met in plaats van ? En als dit het geval is, hoe kunnen we dan ooit weten of bv. verwijst naar een verzameling rijvectoren of een verzameling kolomvectoren van lengte 2?

Voorlopig laat ik het bij deze (hopelijk niet al te triviale vragen). Ik wil een ieder die de tijd neemt deze post te lezen en/of te beantwoorden in ieder geval alvast bedanken.
R10111001
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 37
Geregistreerd: 07 Jul 2015, 15:33

Re: Aantal algemene vragen lineaire algebra

Berichtdoor arie » 13 Aug 2016, 10:17

R10111001 schreef:Ik ben net begonnen in een boek over lineaire algebra en ben inmiddels tegen een aantal kleine dingen aangelopen die nog wat extra verduidelijking kunnen gebruiken. Het betreft voornamelijk zaken van notationele aard, dus ik hoop dat de notationele conventies die gebruikt worden in het boek algemeen gangbaar zijn.

Over het algemeen ligt in de wiskunde de betekenis van symbolen vast, maar er kunnen kleine variaties in notatie zijn. Vaak wordt in wiskundeboeken de gehanteerde notatie in een bijlage of symbolenlijst vastgelegd.
Het is dus niet zo dat iedereen zich altijd aan dezelfde notatie houdt.
Er is ook geen notatie de juister is dan alle andere notaties.
Zolang je elkaar eenvoudig en eenduidig kan begrijpen is het OK.


R10111001 schreef:Mijn eerste vraag gaat over de inverse elementaire rijoperaties. Voor de elementaire rijoperaties gebruikt men in het boek een pijlnotatie en verwijst naar de i-de vergelijking in een stelsel van eerstegraadsvergelijkingen. Zo wordt de eerste ERO bv. genoteerd als: . Mijn vraag is nu wat nu precies de correctie notatie is voor de inverse elementaire rijoperaties. Is dit voor de eerste ERO nu: waarbij de dus eigenlijk een soort van verrekend is na uitvoering van de eerste ERO, of is dit nu en blijven we na uitvoering van de eerste ERO verwijzen naar als ? Ik weet dat het nogal een triviale vraag is, maar wil toch graag weten wat nu precies correct is.

De pijl is een afbeelding: een variabele (links van de pijl) wordt afgebeeld op een functie van die variabele (rechts van de pijl).

Als je deze afbeelding A noemt, krijg je nog algemener:

De inverse afbeelding wordt dan

of zonder de afbeelding expliciet te noemen:

In het laatste geval zie je alleen niet dat dit de inverse afbeelding is van de eerste afbeelding hierboven. Dat zal je dan in de tekst moeten toelichten.

Vergelijk dit bijvoorbeeld met de vele mogelijkheden hoe je functies noteert:

en als je je functie f noemt:


of



R10111001 schreef:Ook vraag ik mij met betrekking tot de derde ERO ( ) af wat hier precies de intuïtie achter is. Hoe komt het dat in een stelsel van eerstegraadsvergelijkingen het optellen van een veelvoud van een j-de vergelijking bij de i-de vergelijking niets aan de oplossingsverzameling verandert?

Als je een stelsel hebt, bijvoorbeeld:



dan is dit in feite een aantal losse vergelijkingen (in dit voorbeeld 2 vergelijkingen).

Je kan dan altijd (zoals bij elke vergelijking) links en rechts met eenzelfde factor lambda vermenigvuldigen, bijvoorbeeld:
Als

dan is


Ook mag je bij links en rechts hetzelfde optellen:
Als

dan is


Definieer nu

en substitueer A in de voorgaande vergelijking:



en nu heb je de tweede vergelijking een aantal (= lambda) keer bij de eerste opgeteld.
Deze bewerking is bovendien omkeerbaar.

Elke oplossing van het oorspronkelijke stelsel is dus ook een oplossing van dit stelsel:



en omgekeerd is elke oplossing van dit laatste stelsel ook een oplossing van het eerste stelsel.


R10111001 schreef:Verder is in het boek te lezen dat twee stelsels of twee matrices rij-equivalent zijn als de ene uit de andere kan ontstaan door een opeenvolging van elementaire rijoperaties. Het is natuurlijk kenmerkend voor de elementaire rijoperaties dat zij de oplossingsverzameling van het stelsel onveranderd laten, als twee stelsels rij-equivalent zijn hebben zij dus noodzakelijk dezelfde oplossingsverzameling. Kan men echter ook het omgekeerde stellen en besluiten dat twee stelsels of twee matrices rij-equivalent zijn omdat zij dezelfde oplossingsverzameling hebben?

Vergelijk



met



Wat is de oplossingsverzameling in beide gevallen?
Kan de tweede uit de eerste ontstaan door een opeenvolging van elementaire rijoperaties?


R10111001 schreef:Tot slot nog een vraag over de notatie van een verzameling rijvectoren van lengte n en elementen in . In het boek staat dat deze verzameling verkort wordt genoteerd met in plaats van . Er staat echter ook dat we analoog werken voor de kolomvectoren. Betekent dit dan dat we een verzameling kolomvectoren van 'lengte' m verkort noteren met in plaats van ? En als dit het geval is, hoe kunnen we dan ooit weten of bv. verwijst naar een verzameling rijvectoren of een verzameling kolomvectoren van lengte 2?

In werk je met 2-dimensionale matrices.
In werk je met 1-dimensionale vectoren.
In werk je met 0-dimensionale getallen.

Als je een vector v in als matrix V beschouwt, kan dat inderdaad een matrix in of een matrix in zijn.
Dit zal je apart moeten benoemen.
In matrix - vector producten M*v wordt dit vaak impliciet gedaan:
In M*v is v een kolomvector, in v*M is v een rijvector.

De begrippen kolomvector en rijvector hebben alleen betekenis in samenhang met matrices.
Strikt formeel is een vector een geordende rij getallen, zonder aparte hoogte en breedte (alleen 1 lengte).

Vergelijk dit bijvoorbeeld met een getallenlijn versus het 2-dimensionale vlak. De getallenlijn heeft 1 richting, het vlak 2, terwijl je de getallenlijn toch in het vlak kan plaatsen.
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2946
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Aantal algemene vragen lineaire algebra

Berichtdoor R10111001 » 16 Aug 2016, 16:11

In de eerste plaats ontzettend bedankt voor je uitgebreide reactie. Vooraleerst een paar opmerkingen over de antwoorden die je hebt gegeven op mijn vragen. De intuïtie achter de derde ERO ( ) is mij nu geheel duidelijk! Aangaande mijn vraag of het mogelijk is op grond van het gegeven dat twee stelsels dezelfde oplossingsverzameling hebben te besluiten dat ze rij-equivalent zijn, heeft je voorbeeld mijn vermoeden bevestigd. Beide matrices hebben dezelfde oplossingsverzameling ({ }), maar zijn niet rij-equivalent. Tot slot is mij nu ook duidelijk dat de begrippen rij- en kolomvector (of ook wel rij- en kolommatrix genoemd) alleen betekenis hebben in een matrixcontext.

arie schreef:De pijl is een afbeelding: een variabele (links van de pijl) wordt afgebeeld op een functie van die variabele (rechts van de pijl).

Als je deze afbeelding A noemt, krijg je nog algemener:

De inverse afbeelding wordt dan

of zonder de afbeelding expliciet te noemen:

In het laatste geval zie je alleen niet dat dit de inverse afbeelding is van de eerste afbeelding hierboven. Dat zal je dan in de tekst moeten toelichten.


Over deze interpretatie heb ik echter nog een aantal vragen. Als hier inderdaad sprake is van een afbeelding, dan zou het gebruik van de afbeeldingspijl impliceren dat en verzamelingen zijn, hetgeen natuurlijk niet het geval is. Als we er van uitgaan dat we moeten opvatten als variabele (of element van het domein) en dus het beeld van is onder (conform jouw interpretatie), dan zou er toch eigenlijk gebruik moeten worden gemaakt van de beeldpijl ? Ook is mijns inziens geen element van een verzameling (ofwel een variabele) omdat het geen vergelijking is. Tenzij er zoiets bestaat als een verzameling van alle vergelijkingen die we bv. noemen (met ) (is dat überhaupt mogelijk?), maar dan zou de notatie (met ) toch veel logischer zijn?

Verder heb ik nog een aantal andere vragen. In het boek staat de volgende algebraïsche eigenschap van de vermenigvuldiging van matrices (onder voorwaarde dat en matrices zijn die telkens passende afmetingen hebben om bewerking uit te voeren): (ofwel, de vermenigvuldiging van een matrix met een scalaire matrix is commutatief). Maar volgens mij gaat deze commutativiteit alleen op als een vierkante matrix is (die dan noodzakelijk dezelfde afmetingen heeft als de scalaire matrix). Is dit inderdaad het geval?

Daar ik mij afvroeg of de scalaire vermenigvuldiging met een matrix misschien een speciaal geval was van de 'gewone' scalaire vermenigvuldiging, ben ik eens nader gaan kijken naar wat vermenigvuldiging precies is. Zodoende kwam ik uit op het begrip operatie dat in zeer algemene termen gedefinieerd wordt als een procedure die uit één of meer invoerwaarden (operanden) een uitvoerwaarde produceert. Ik kwam de volgende formele definitie van een operatie als een afbeelding tegen , maar deze formele definitie lijkt mij een stuk strikter dan de definitie in algemene termen. Een afbeelding is altijd een 'mapping' tussen de elementen van ten hoogste twee verzamelingen, maar de definitie in algemene termen lijkt te suggereren dat een operatie ook elementen uit verschillende verzamelingen kan koppelen aan één element uit een andere verzameling (codomein). Is dit inderdaad het geval? En zo ja, dan zou een operatie toch geen afbeelding kunnen zijn?

Als speciale gevallen van deze 'algemene' operaties worden de unaire en de binaire operaties genoemd (en daar vermenigvuldiging een binaire operatie is gaat mijn aandacht daar natuurlijk naar uit). De binaire operatie op bijvoorbeeld een verzameling wordt formeel gedefinieerd als de afbeelding , we spreken dus alleen van een binaire operaties als de verzameling onder de operatie in kwestie gesloten is. Het domein van de operatie is dus altijd een cartesisch product van het codomein, de elementen waarop de binaire operatie wordt uitgevoerd en het element dat de output vormt komen allen uit dezelfde verzameling. Maar dit zou betekenen dat de scalaire vermenigvuldiging op geen binaire operatie is, een scalair is immers geen matrix en dus geen . Het zou volgens de formele definitie van een operatie zelfs helemaal geen operatie zijn, omdat een element gekoppeld wordt aan twee elementen uit verschillende verzamelingen (ofwel: ). Om gelijkaardige redenen voldoet ook het matrixproduct niet aan de strikte definitie van een binaire operatie (immers, voor geldt hetzelfde). Hoe zit dit precies? En wanneer is een operatie nu precies wel of niet gedefinieerd op een verzameling?

Als bijkomende vraag nog het volgende, kan een verzameling ook gesloten zijn onder een partiële operatie? Een verzameling is immers gesloten onder een operatie als het toepassen van die operatie op elementen van die verzameling altijd weer een resulteert in een element diezelfde verzameling (hetgeen volgens mij dus betekent dat het domein altijd een cartesisch product is van het codomein, bv. ). In het geval van een partiële operatie kan immers niet aan elk element van een element uit gekoppeld worden.

Tot slot nog een vraag over de betekenis van het woord rekenen in het algemeen. Wat verstaan we nu precies onder rekenen? Is het rekenen in bv. een 'verzameling' van alle unaire en binaire operaties op ?

Het is al met al weer een lang betoog geworden en ik hoop dat ik mijn vragen duidelijk genoeg verwoord heb. Ik dank andermaal een ieder die de moeite neemt deze post te lezen en/of te beantwoorden.
R10111001
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 37
Geregistreerd: 07 Jul 2015, 15:33


Terug naar Lineaire & abstracte algebra

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 2 gasten

cron

Wie is er online?

Er zijn in totaal 2 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 2 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 2 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.