determine if R is a vector space or not

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.

determine if R is a vector space or not

Berichtdoor Roy8888 » 18 Sep 2016, 18:26

Hallo, twee weken geleden ben ik begonnen aan de Tu/e (werktuigbouwkunde schakelprogramma) en een van de vakken is lineare algebra waarvoor we het volgende boek gebruiken: Linear algebra with applications druk 9 van Steven J. Leon.

Mijn vraag gaat over vector spaces. Gegeven is de volgende vraag (pagina 119).

Let R+ denote the set of positive real numbers. Define the operation of scalar multiplication, denoted ◦, by
α ◦ x = xα
for each x ∈ R+ and for any real number α. Define
the operation of addition, denoted ⊕, by
x ⊕ y = x · y for all x, y ∈ R+
Thus, for this system, the scalar product of 3 times 1/2 is given by
=8
and the sum of 2 and 5 is given by
2 ⊕ 5 = 2 · 5 = 10
Is R+ a vector space with these operations? Prove
your answer.

Wat ze in de uitwerking van deze opgave doen is het langsgaan van alle 8 axioms die aangeven waar een vector space aan moet voldoen om een vector space te mogen zijn, en de conclusie is dat het een vector space is. De acht axioms staan hieronder weergegeven. Mijn vraag gaat specifiek over A3.

A1. x + y = y + x for any x and y in V.
A2. (x + y) + z = x + (y + z) for any x, y, and z in V.
A3. There exists an element 0 in V such that x + 0 = x for each x ∈ V.
A4. For each x ∈ V, there exists an element −x in V such that x+(−x) = 0.
A5. α(x + y) = αx + αy for each scalar α and any x and y in V.
A6. (α + β)x = αx + βx for any scalars α and β and any x ∈ V.
A7. (αβ)x = α(βx) for any scalars α and β and any x ∈ V.
A8. 1x = x for all x ∈ V.
*Daarbij zeggen ze in het boek duidelijk dat het bij A3 gaat om de ZERO vector.

In de opgave staat dat R de set is van 'positive real numbers'. Dat wil zeggen alle getallen groter dan 0 (0 zelf dus niet)?

Daarna komen ze aan bij stelling A3. Daarin doen ze het volgende:

ze zeggen dan dat 1 hier dan de zero vector is. Mijn vraag is dan of dit niet in strijd is met de definitie van de zero-vector, die zegt namelijk dat dat een vector is zonder grootte, en 1 heeft volgens mij wel gewoon een grootte, namelijk 1.

De uitwerking zou wel kloppen als met '0' niet specifiek de zero-vector wordt bedoeld, maar dat het gewoon een symbool is voor de additive identity. Want dan zou '0' alles kunnen zijn. Zo staat het namelijk ook beschreven op de website van wolfram (http://mathworld.wolfram.com/VectorSpace.html).

Mijn vraag is dus eigenlijk: klopt het dat in axiom 3 de '0' staat voor de additive identity en dus niet perse de zero-vector hoeft te zijn?

De gehele uitwerking is hier te vinden:
https://math.byu.edu/~math302/content/h ... on_3-1.pdf
Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 697
Geregistreerd: 24 Aug 2011, 21:36

Re: determine if R is a vector space or not

Berichtdoor SafeX » 18 Sep 2016, 20:24

In jouw opgave staat dan: je moet nagaan dat x+1=x.1=x ...
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14146
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: determine if R is a vector space or not

Berichtdoor Roy8888 » 18 Sep 2016, 20:32

Ik weet niet wat je daarmee bedoeld... In de opgave staat dat ik moet aantonen of R en vectorruimte is of niet. En mijn vraag is of het klopt dat bij axiom 3, de 0 een additive identity is en niet perse de nul-vector. Want het boek stelt dat de nul bij axiom 3 de nul-vector is. En als ik die definitie gebruik dan zou R geen vectorruimte zijn: x+0 is volgens de vraag x*0=0 en niet x. Hun stellen in de uitwerking dat 1 de nulvector is maar dat kan per definitie niet?

Mijn vraag is dan ook of het klopt dat bij axiom 3 met 0 de additive identity wordt bedoeld en niet perse de nul-vector.
Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 697
Geregistreerd: 24 Aug 2011, 21:36

Re: determine if R is a vector space or not

Berichtdoor SafeX » 18 Sep 2016, 21:20

Je kan 0 niet kiezen want je werkt met R+ ...
Volgens de definitie van optellen, nl x+a=x.a met x,a in R+, voldoet x+1=x.1=x maw 1 is hier de 'zero' vector in de optelling ...

Opm: je zit te veel aan zero vast, terwijl je alleen de gedefinieerde notaties moet toepassen ...
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14146
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: determine if R is a vector space or not

Berichtdoor Roy8888 » 19 Sep 2016, 13:14

SafeX schreef:Volgens de definitie van optellen, nl x+a=x.a met x,a in R+, voldoet x+1=x.1=x maw 1 is hier de 'zero' vector in de optelling ...


Dan begrijp ik het! Bedankt voor je uitleg
Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 697
Geregistreerd: 24 Aug 2011, 21:36

Re: determine if R is a vector space or not

Berichtdoor SafeX » 19 Sep 2016, 20:39

Ok, succes verder!
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14146
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53


Terug naar Lineaire & abstracte algebra

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Google [Bot] en 3 gasten

Wie is er online?

Er zijn in totaal 4 gebruikers online :: 1 geregistreerd, 0 verborgen en 3 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Google [Bot] en 3 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.