determine if R is a vector space or not
Geplaatst: 18 sep 2016, 18:26
Hallo, twee weken geleden ben ik begonnen aan de Tu/e (werktuigbouwkunde schakelprogramma) en een van de vakken is lineare algebra waarvoor we het volgende boek gebruiken: Linear algebra with applications druk 9 van Steven J. Leon.
Mijn vraag gaat over vector spaces. Gegeven is de volgende vraag (pagina 119).
Let R+ denote the set of positive real numbers. Define the operation of scalar multiplication, denoted ◦, by
α ◦ x = xα
for each x ∈ R+ and for any real number α. Define
the operation of addition, denoted ⊕, by
x ⊕ y = x · y for all x, y ∈ R+
Thus, for this system, the scalar product of 3 times 1/2 is given by
◦ =8
and the sum of 2 and 5 is given by
2 ⊕ 5 = 2 · 5 = 10
Is R+ a vector space with these operations? Prove
your answer.
Wat ze in de uitwerking van deze opgave doen is het langsgaan van alle 8 axioms die aangeven waar een vector space aan moet voldoen om een vector space te mogen zijn, en de conclusie is dat het een vector space is. De acht axioms staan hieronder weergegeven. Mijn vraag gaat specifiek over A3.
A1. x + y = y + x for any x and y in V.
A2. (x + y) + z = x + (y + z) for any x, y, and z in V.
A3. There exists an element 0 in V such that x + 0 = x for each x ∈ V.
A4. For each x ∈ V, there exists an element −x in V such that x+(−x) = 0.
A5. α(x + y) = αx + αy for each scalar α and any x and y in V.
A6. (α + β)x = αx + βx for any scalars α and β and any x ∈ V.
A7. (αβ)x = α(βx) for any scalars α and β and any x ∈ V.
A8. 1x = x for all x ∈ V.
*Daarbij zeggen ze in het boek duidelijk dat het bij A3 gaat om de ZERO vector.
In de opgave staat dat R de set is van 'positive real numbers'. Dat wil zeggen alle getallen groter dan 0 (0 zelf dus niet)?
Daarna komen ze aan bij stelling A3. Daarin doen ze het volgende:
ze zeggen dan dat 1 hier dan de zero vector is. Mijn vraag is dan of dit niet in strijd is met de definitie van de zero-vector, die zegt namelijk dat dat een vector is zonder grootte, en 1 heeft volgens mij wel gewoon een grootte, namelijk 1.
De uitwerking zou wel kloppen als met '0' niet specifiek de zero-vector wordt bedoeld, maar dat het gewoon een symbool is voor de additive identity. Want dan zou '0' alles kunnen zijn. Zo staat het namelijk ook beschreven op de website van wolfram (http://mathworld.wolfram.com/VectorSpace.html).
Mijn vraag is dus eigenlijk: klopt het dat in axiom 3 de '0' staat voor de additive identity en dus niet perse de zero-vector hoeft te zijn?
De gehele uitwerking is hier te vinden:
https://math.byu.edu/~math302/content/h ... on_3-1.pdf
Mijn vraag gaat over vector spaces. Gegeven is de volgende vraag (pagina 119).
Let R+ denote the set of positive real numbers. Define the operation of scalar multiplication, denoted ◦, by
α ◦ x = xα
for each x ∈ R+ and for any real number α. Define
the operation of addition, denoted ⊕, by
x ⊕ y = x · y for all x, y ∈ R+
Thus, for this system, the scalar product of 3 times 1/2 is given by
◦ =8
and the sum of 2 and 5 is given by
2 ⊕ 5 = 2 · 5 = 10
Is R+ a vector space with these operations? Prove
your answer.
Wat ze in de uitwerking van deze opgave doen is het langsgaan van alle 8 axioms die aangeven waar een vector space aan moet voldoen om een vector space te mogen zijn, en de conclusie is dat het een vector space is. De acht axioms staan hieronder weergegeven. Mijn vraag gaat specifiek over A3.
A1. x + y = y + x for any x and y in V.
A2. (x + y) + z = x + (y + z) for any x, y, and z in V.
A3. There exists an element 0 in V such that x + 0 = x for each x ∈ V.
A4. For each x ∈ V, there exists an element −x in V such that x+(−x) = 0.
A5. α(x + y) = αx + αy for each scalar α and any x and y in V.
A6. (α + β)x = αx + βx for any scalars α and β and any x ∈ V.
A7. (αβ)x = α(βx) for any scalars α and β and any x ∈ V.
A8. 1x = x for all x ∈ V.
*Daarbij zeggen ze in het boek duidelijk dat het bij A3 gaat om de ZERO vector.
In de opgave staat dat R de set is van 'positive real numbers'. Dat wil zeggen alle getallen groter dan 0 (0 zelf dus niet)?
Daarna komen ze aan bij stelling A3. Daarin doen ze het volgende:
ze zeggen dan dat 1 hier dan de zero vector is. Mijn vraag is dan of dit niet in strijd is met de definitie van de zero-vector, die zegt namelijk dat dat een vector is zonder grootte, en 1 heeft volgens mij wel gewoon een grootte, namelijk 1.
De uitwerking zou wel kloppen als met '0' niet specifiek de zero-vector wordt bedoeld, maar dat het gewoon een symbool is voor de additive identity. Want dan zou '0' alles kunnen zijn. Zo staat het namelijk ook beschreven op de website van wolfram (http://mathworld.wolfram.com/VectorSpace.html).
Mijn vraag is dus eigenlijk: klopt het dat in axiom 3 de '0' staat voor de additive identity en dus niet perse de zero-vector hoeft te zijn?
De gehele uitwerking is hier te vinden:
https://math.byu.edu/~math302/content/h ... on_3-1.pdf