4 vergelijkingen 4 onbekenden

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.
Plaats reactie
gerard1234
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 06 apr 2019, 12:28

4 vergelijkingen 4 onbekenden

Bericht door gerard1234 » 06 apr 2019, 12:33

Kan iemand mij uitleggen hoe je het volgende stelsel oplost:

A+b=14
B+c=13
C+d=7
D+a=8

Ik kom er niet uit.

Alvast bedankt.

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1867
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: 4 vergelijkingen 4 onbekenden

Bericht door arno » 06 apr 2019, 17:19

Zoals het er nu staat lijkt het meer op een stelsel van 4 vergelijkingen met 8 onbekenden. Wiskundig gezien stellen de letters a en A namelijk verschillende variabelen voor, dus je dient een dergelijk stelsel met uitsluitend kleine letters of uitsluitend hoofdletters te noteren. Gebruiken we kleine letters, dan hebben we dus het stelsel
a+b=14
b+c=13
c+d=7
d+a=8

Uit de eerste vergelijking volgt: a = 14-b en uit de vierde vergelijking volgt: a = 8-d, dus 14-b = 8-d, dus b-d = 6.
Uit c+d = 7 volgt dat b-d+1 = c+d, dus c = b-2d+1. Verder geldt dat c = a+1, dus a = c-1 = b-2d, dus -2d = 14,
dus d = -7. Hieruit volgen dus automatisch de waarden voor a, b en c.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

gerard1234
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 06 apr 2019, 12:28

Re: 4 vergelijkingen 4 onbekenden

Bericht door gerard1234 » 06 apr 2019, 18:22

Excuses. Typografische problemen. Alle onbekenden zijn hoofdletters.
Waar nu A+b staat wordt A+B bedoeld. Etc.

Er zijn dus 4 onbekenden.
A, B, C, D.

gerard1234
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 06 apr 2019, 12:28

Re: 4 vergelijkingen 4 onbekenden

Bericht door gerard1234 » 06 apr 2019, 18:26

Het antwoord moet zijn:

A=6
B=8
C=5
D=2

Maar hoe is dat antwoord wiskundig te beredeneren?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3246
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: 4 vergelijkingen 4 onbekenden

Bericht door arie » 06 apr 2019, 19:54

Dit stelsel is onbepaald: er zijn oneindig veel oplossingen:

Stel \(A = \lambda\) voor \(\lambda \in \mathbb{R}\), dan volgt uit de 1e vergelijking:

\(B = 14 - A = 14 - \lambda\)

uit de 2e vergelijking:

\(C = 13 - B = 13 - (14 - \lambda) = \lambda - 1\)

uit de 3e vergelijking:

\(D = 7 - C = 7 - (\lambda - 1) = 8 - \lambda \)

en uit de 4e vergelijking:

\((8 - \lambda) + \lambda = 8\)

en dit is waar voor elke \(\lambda\)


Elke waarde van \(\lambda\) geeft nu dus een oplossing voor het stelsel:

\(A = \lambda\)
\(B = -\lambda + 14\)
\(C = \lambda - 1\)
\(D = -\lambda + 8\)


Als je bijvoorbeeld \(\lambda = 0\) kiest, dan krijg je:

\(A = 0\)
\(B = 14\)
\(C = - 1\)
\(D = 8\)

en je kan nagaan in het oorspronkelijke stelsel:

\(A+B=14\)
\(B+C=13\)
\(C+D=7\)
\(D+A=8\)


Kies je bijvoorbeeld \(\lambda = 6\), dan krijg je de oplossing van je antwoordmodel:

\(A = 6\)
\(B = -6 + 14 = 8\)
\(C = 6 - 1 = 5\)
\(D = -6 + 8 = 2\)

en je kan in het oorspronkelijke stelsel weer nagaan dat ook dit een oplossing is.


Er is dus iets mis met het antwoordmodel of met de opgave.

Plaats reactie