Wiskundeforum

Geachte,
Ik heb volgend probleem
In een orthogonaal assenstelsel zijn er enkele punten (met integers als coördinaten) en ook enkele richtingen die dus een punt op oneindig bepalen.
Is het mogelijk deze elementen te transformeren zodat alle punten ( dus ook deze op oneindig) eindige (en indien mogelijk integer coördinaten) coordinaten verkrijgen?
Indien bevestigend op welke wijze?
Ik vermoed dat elke incidentie van verbindingslijnen behouden blijven.
Dank voor enig antwoord.

Kan je een opgave geven ...

Beschouw je assenstelsel als een representatie van het complexe vlak z=x+iy

De transformatie



Beeldt het punt op af op a/c

Deze transformatie beeldt een rechte af op een cirkel. Elk punt transformeren in een ander punt met gehele coördinaten is niet mogelijk met deze transformatie.
Google op Möbius transformatie voor meer info.

Gaat het over het complexe vlak ...

SafeX schreef:Gaat het over het complexe vlak ...

De initiële vraag hoeft niet over het over het complexe vlak te gaan, maar het complexe vlak wordt vaak gebruikt om transformaties voor te stellen.

(x,y)->z=x+iy -> z'=f(z)=x'+iy' -> (x',y')

input coordinaat (x,y) en getransformeerde coordinaat (x',y') zijn reëel.


Meer info over deze techniek -> google op conformal mappings

Dank allen voor de info, ik moet alles eens rustig goed bekijken of er voor mij enig oplossing in zit.
Andrews

wnvl schreef:

Beeldt het punt op af op a/c

En volgens mij ook een eindig punt op . Volgens mij , maar dat weet ik even niet zeker meer.

SafeX schreef:Gaat het over het complexe vlak ...

Kan je deze vraag beantwoorden?

Het complexe vlak.
Misschien zie ik het verkeerd maar ik kan dus een stelsel in een vlak met reële of gehele coördinaten x,y gewoon zetten als a + bi en na (complexe) verwerkingen het complexe vlak met de punten a + bi gewoon terug zetten als x,y waarin a = x en b = y.

Dan ben ik benieuwd naar een opgave ... , het bleek iig niet uit je eerste post.

Ben je bekend met het complexe vlak?

Een kleine opgave bv :
Vier punten waarvan 1 punt op oneindig, x1=3, y1=2: x2 = 5, y2 = 3 : x3 = 1, y3 = 6 : en hert vierde punt gekenmerkt met deltax = 3, deltay = 5 of nog richtongscoef = 5/3.
Kan ik zodanig transformeren dat alle punten minstens reëel zijn zoniet met gehele coordinaten.?

Heb je ook een opgave waarvan je ook de opl kent?

Bij een transformatie zoek je een functie. Maar dan moet je van precies 3 ptn het beeld kennen.

andrews schreef:Een kleine opgave bv :
Vier punten waarvan 1 punt op oneindig, x1=3, y1=2: x2 = 5, y2 = 3 : x3 = 1, y3 = 6 : en hert vierde punt gekenmerkt met deltax = 3, deltay = 5 of nog richtongscoef = 5/3.
Kan ik zodanig transformeren dat alle punten minstens reëel zijn zoniet met gehele coordinaten.?

Als je gaat voor een Möbiustransformatie kan je voor 3 punten het beeld bepalen, bvb

(3,2)(1,1)
(5,3)(2,2)
(1,6)(3,3)

Omzetten naar complexe getallen





Stel



Dan is de transformatie die we zoeken.

Even uitwerken...








Toevallig wordt het punt op in dit geval nog op gehele waarden (3,2) afgebeeld.

SafeX schreef:Heb je ook een opgave waarvan je ook de opl kent?

Bij een transformatie zoek je een functie. Maar dan moet je van precies 3 ptn het beeld kennen.

De oplossing bestaat niet. Je kan oneindig veel soorten van transformaties bedenken die aan dit type van voorwaarden voldoen.

Je tweede punt is niet waar, denk ik.
Het is gemakkelijk in te zien dat als je gaat voor een transformatie van het type



je voor meer dan 3 punten het beeld vrij kan bepalen.